高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案_不等式恒成立教案

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函数和不等式结的恒成立问题的解法

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)ax2bxc(a0,xR),有

1）f(x)0对xR恒成立a0;

0a0xR2）f(x)0对恒成立.0例1：若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R，求m的范围。例2 设函数f(x)＝mx-mx-1．

(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）f(x)a恒成立af(x)min 2）f(x)a恒成立af(x)max

2例

1、若x2,2时，不等式xax3a恒成立，求a的取值范围。

例2．设f(x)x22mx2，当x[1,)时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。

x22xa,x[1,)，若对任意x[1,)，f(x)0恒成巩固．已知函数f(x)x立，求实数a的取值范围。

练习1：若不等式x22mx2m10对满足x[0,1]的取值范围。的所有实数x都成立，求m练习2 已知f(x)x2ax3a，若x[2,2],f(x)2恒成立，求a的取值范围.三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(x)max 2）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(x)max

x2x例3．已知x,1时，不等式12aa40恒成立，求a的取值范围。



巩固 已知函数f(x)ax围。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

4xx2,x(0,4]时f(x)0恒成立，求实数a的取值范例1．对任意a[1,1]，不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围。

22.若不等式2x1mx1对满足m2的所有m都成立，求x的取值范围。

四、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；

2）f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。

例.设f(x)的取值范围.ykx3k的图象位于函数f(x)例2 已知函数f(x)|x24x5|，若在区间[1,5]上，x24x , g(x)4x1a,若恒有f(x)g(x)成立,求实数a3的上方，求k的取值范围.练习 已知函数f(x)|x24x5|，若在区间[1,5]上，yk(x3)2的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围

由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。综合练习;例6

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若f(m)f(n)0mnm,n[1,1],mn0时，若f(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒成立，求实数t的取值范围.课后作业: 若不等式|x1||x2|…a对任意xR恒成立，则a的取值范围是．

已知函数f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)(1)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围,并求相应的m,n的值(2)若f(x)≤2x在(0,+无穷大)上恒成立,求a的取值范围

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