专题五对数函数 教案_对数函数优秀教案

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专题五

对数函数

一、目标认知

重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点：正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.二、知识要点梳理 知识点

一、对数及其运算

我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念：

1．如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2．对数恒等式：

3．对数

具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即；

(2)1的对数为0，即；

(3)底的对数等于1，即

.(二)常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然对数，.(三)对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.(四)积、商、幂的对数

已知

(1)；

推广：

好的开始，是成功的一半！

(2)；

(3)

.(五)换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:

(1)

令 logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即：

.(2)，令logaM=b，则有ab=M，则有

即，即，即

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论：

.知识点

二、对数函数

1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.2．在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0

(1)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R

(2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0)

(3)当a>1时，三、规律方法指导

容易产生的错误

(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0 且a¹1，N>0，bÎR)容易记错.(2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：

一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：

坚持就是胜利！

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log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

loga(M±N)=logaM±logaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.(3)解决对数函数y=logax(a>0且a¹1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.(4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN

三、精讲精练

类型

一、指数式与对数式互化及其应用

1．将下列指数式与对数式互化：

(1)；(2)

；(3)

；(4)

；(5)

；(6)

.思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)

；(3)

；(4)

；(5)；

(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.【变式1】求下列各式中x的值：

(1)(2)

(3)lg100=x(4)

思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；

(2)；

(3)10x=100=102，于是x=2；

(4)由

.类型

二、利用对数恒等式化简求值

2．求值：

好的开始，是成功的一半！

解：

.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：

.类型

三、积、商、幂的对数

3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15

解：(1)原式=lg32=2lg3=2b

(2)原式=lg26=6lg2=6a

(3)原式=lg2+lg3=a+b

(4)原式=lg22+lg3=2a+b

(5)原式=1-lg2=1-a

(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

【变式1】求值

(1)

(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

解：

(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.类型

四、换底公式的运用

4．(1)已知logxy=a，用a表示；

(2)已知logax=m，logbx=n，logcx=p，求logabcx.解：(1)原式=；

(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：am=x，bn=x，cp=x

∴，坚持就是胜利！

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∴；

方法二：

.【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：

(1)

(2)；

(3)法一：

法二：

.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型

五、对数运算法则的应用

5．求值

(1)log89·log27

32(2)

(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

解：(1)原式=.(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)好的开始，是成功的一半！

【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?

解：∵

∴，类型

六、函数的定义域、值域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性

质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6.求下列函数的定义域：

(1)

；(2)

.思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；

(2)因为4-x>0，即x

.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由

≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型

七、函数图象问题

7．作出下列函数的图象：

(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2)y=lg|x|；(3)y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型

八、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢

固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8.比较下列各组数中的两个值大小：

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(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4

解法2：由函数y=log2x在R+

上是单调增函数，且3.4

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1

当0loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则

当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1

所以，b1

当0

在R上是减函数，且5.1

所以，b1>b2，即

.9.证明函数

上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1

则

又∵y=log2x在上是增函数

即f(x1)

∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.【变式1】已知f(logax)=

(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1

∴ f(t1)-f(t2)=，好的开始，是成功的一半！

∵ 01，∴ f(t1)

当01或0

10．求函数y=

(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=

t为减函数，且0

∴ y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=

(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1

∴ t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=

t为减函数.∴ 函数y=

(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型

九、函数的奇偶性

11.判断下列函数的奇偶性.(1)

(2)

.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数

是奇函数；

总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：

由

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所以函数的定义域为R关于原点对称

又

即f(-x)=-f(x)；所以函数

.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型

十、对数函数性质的综合应用基础达标

一、选择题

1.下列说法中错误的是()

A.零和负数没有对数

B.任何一个指数式都可化为对数式

C.以10为底的对数叫做常用对数

D.以e为底的对数叫做自然对数

2.有以下四个结论：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中

正确的是()

A.①③

B.②④

C.①②

D.③④

3.下列等式成立的有()

①；②

；③

；④

；⑤；

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②③④⑤

4.已知，那么用

表示是()

A.B.C.D.5.（2011 天津文6）设，，则（）．

A.B.C.D.6.已知，且等于()

A.B.C.D.7.函数的图象关于()

A.轴对称

B.轴对称

C.原点对称

D.直线

对称

8.函数的定义域是()好的开始，是成功的一半！

A.B.C.D.9.函数的值域是()

A.B.C.D.10.下列函数中，在上为增函数的是()

A.B.C.D.二、填空题

11.3的_________次幂等于8.12.若，则x=_________；若

log2003(x2-1)=0，则x=_________.13.(1)=_______；

(2)若_______；

(3)=_______；

(4)

_______；

(5)

=_______；

14.函数的定义域是__________.15.函数

是___________(奇、偶)函数.三、解答题

16.已知函数，判断的奇偶性和单调性.坚持就是胜利！

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17.已知函数，(1)求的定义域；

(2)判断的奇偶性.18.已知函数的定义域为，值域为，求的值.答案与解析 基础达标

一、选择题

1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.C 8.A 9.C 10.D

二、填空题

11.； 12.-13，； 13.(1)1；(2)12；(3)-3；(4)2；(5)4；

14.由 解得；

15.奇，为奇函数.三、解答题

16.(1)，∴是奇函数

(2)，且，则，∴为增函数.17.(1)∵，∴，好的开始，是成功的一半！

又由得，∴ 的定义域为.(2)∵的定义域不关于原点对称，∴

为非奇非偶函数.18.由，得，即

∵，即

由，得，由根与系数的关系得，解得

.坚持就是胜利！