数学竞赛教案讲义(5)——数列_数学竞赛教案讲义数列

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第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)na1d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

an1q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。ana1(1qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当

1qn-1q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|

n定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|

a1（由极限的定义可得）。1q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+

11,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.21，求证：对任意n∈N+,有an>1.an或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得22nan1pan1·an+qancq0.2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1，求证：an都是整数，n∈N+.3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列

4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.1(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n2100111+…+.n(n1)(n2)123234an的前n项和，求证：Sn

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.5．构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2

2xn2例12

已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xnan1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。

三、基础训练题

1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.2.数列{xn}满足x1=

2xn1，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.3xn223.数列{xn}满足x1=1，xn=

1xn1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.24.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________.7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若

x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.x11x23x35xn2n1Sna2n，则limn=_________.nb3n1Tnn9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

2007n2n110.若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________.n!n1n11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求1的通项。ann12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x21．已知函数f(x)=2x1x1则a2006=_____________.1x271+

x1，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N)，32(x1)2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=1(n1)(n2).3.若an=n2+n, 且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.1, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则23n15.已知limn1，则a的取值范围是______________.n3(a1)n36．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。7．已知ann401n402(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan1a1an112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，21an1an；（3）求数列limbn.nan1（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n1)

2(an+bn+c)12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。2．设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn12，则通项xn=__________.2xn17253.设数列{an}满足a1=3, an>0，且3anan1，则通项an=__________.4.已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则ai0n1i=__________.5.等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an2an=2，则

an11lima1a2ann2n________.8.数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.an9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=2ahn在大于0的整数n，使得an=1？

an为偶数an为奇数。问：对于怎样的h，存10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan23anan2111.六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证：an(n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1

22x0xnx121≥3.999（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使

x1x2xn均成立；

22x0xnx121

x1x2xn5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

2(12an2)an116．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 222an14an2an1an23(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

12是整数的平方。an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1.mk9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0

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