《直线与平面垂直的判定》教学设计_直线和平面垂直的判定

《直线与平面垂直的判定》教学设计由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“直线和平面垂直的判定”。

《直线与平面垂直的判定》教学设计

一、背景分析：

直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位臵关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直位臵关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是点、直线、平面间位臵关系中的核心概念之一．

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定定理的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，能进一步培养学生空间想象能力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体会“平面化”思想和“降维”思想．

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．

二、学情分析：

学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位臵关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力．

在直线与平面垂直的判定定理中，为什么至少要两条直线，并且是两条相交直线，学生的理解有一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍．同时，由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，不知如何选择平面内的两条相交直线证线面垂直（抑或选择平面证线面垂直从而得到线线垂直）导致证明过程中无从着手或发生错误． 教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．

三、教学目标：

1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义．

2.通过直观感知、操作确认，归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理．

3.能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题。

四、教学过程：

环节一：（复习引入）

1.直线和平面的位臵关系是什么?

（1）直线在平面内（无数个公共点）（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）（3）直线和平面平行（没有公共点）2.线面平行的判定定理的内容是什么?

如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.3.线面平行的性质定理的内容是什么?

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

设计意图：通过对所学知识的提问与回答能使学生较快的进入到课堂情景 环节二：观察归纳直线与平面垂直的定义 1.直观感知

问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位臵关系？你能举出一些类似的例子吗？

设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位臵关系，使学生在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备．

师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位臵关系，桌子腿与地面的位臵关系，直立书的书脊与桌面的位臵关系等，由此引出课题．

2.探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?

我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系, 直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的关系，然后加以解决．

问题2：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位臵关系是什么？

（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位臵关系又是什么？

随着时间的变化，尽管影子的位臵在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。设计意图：引导学生用“平面化”的思想来思考问题，通过观察，感知直线与平面垂直的本质属性．

师生活动：教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直．

3.抽象概括

问题

3、通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？

设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义．

师生活动：学生思考作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．同时给出线面垂直的记法与画法．

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，4.辩析举例

辨析：下列命题是否正确，为什么？

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直．

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线．

设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解，掌握概念的本质属性．由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直．由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化．

师生活动：命题（1）判断中引导学生用三角板两直角边表两垂直直线，桌面表平面举出反例．教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一 条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.在此基础上在讲台上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但它不一定和讲台桌面垂直，如图3．

对命题（2）的判断 归纳常用命题。

利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质

环节三：探究发现直线与平面垂直的判定定理

1.观察猜想

虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施．有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

问题

4、（1）如果直线与平面内一条直线垂直，则直线和平面是否垂直？

（2）如果直线 与平面内两条直线垂直，则直线与平面是否垂直？

如果两条直线平行 如果两条直线相交?

设计意图：采用类比思想将线面关系引导到线线关系。

问题5：观察跨栏、简易木架等实物，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？

设计意图：通过问题思考与实例分析，寻找具有可操作性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系．

师生活动：引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

2.操作确认

问题6：如图4，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放臵在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？ 设计意图：通过实验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力．

师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因．学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性．

3.合情推理

问题7：根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？

设计意图：引导学生根据直观感知及已有知识经验，进行合情推理，获得判定定理．

师生活动：教师引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理．同时指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想．

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

用符号语言表示为：

环节四：例题示范,巩固新知

例

1、如图，已知a∥b，a⊥α 求证：b⊥α

师生活动：教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面内α内找到两条与直线b垂直的相交直线上．另外，再引导学生将已知条件具体化的过程中，逐步明确根据异面直线所成角的概念解决问题．学生练习本上完成，对照课本完善自己的解题步骤．同时指出：本例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理.这样判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明.设计意图：初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件．

环节五：巩固练习，强化新知

巩固练习1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)请找出与平面ABCD垂直的棱所在的直线 ；(2)请列举与直线A1A垂直的平面 ；

(3)你能找出一条与平面D1DBB1垂直的直线吗?

设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力，同时教师板书证明格式。

巩固练习2：若把正方体切成四棱锥（1）

吗？

吗？

吗？

（2）若在PC的中点为E，则（3）若AD中点为M，PB的中点为N，则设计意图：围绕正方体的切割，通过一系列有梯度问题的设计，给学生一种既熟悉又陌生的感觉，让学生动脑，进一步围绕判定定理来解决问题，使知识升华。

环节六：小结升华： 小结：

1、思路引领：要证明线面垂直的问题，可以通过证明线线垂直来实现.2、友情提示：平面内的这两条直线必须相交；

3、学习重点：直线与平面垂直的定义及判定定理

4、数学思想及方法:

空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限