数列极限定义的教学设计探讨(科技创新导报)_数列的极限的教学设计

2020-02-27 教学设计下载本文

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联系方法：浙江杭州临安浙江林学院理学院顾庆凤邮编 311300 联系电话：*** 邮箱：ganzhougirl@163.com

数列极限定义的教学过程设计探讨

顾庆凤

（浙江林学院理学院，浙江临安 311300）

摘要：数列极限是高等数学的基础，理解和掌握好数列极限的定义对大学生高等数学的学习起着至关重要的作用，而数列极限定义中的符号关系复杂，不易理解。为帮助学生深刻理解数列极限的定义，我们这里对数列极限定义教学过程的设计进行了探讨。关键词：数列；数列极限；描述性定义；-N定义

数列极限是高等数学的基础，是高等数学中最重要的概念之一，它是研究微分学和积分学的必备工具，对它的理解和掌握关系到高等数学这门课的学习，也关系到对后继课程理解的程度。另外，由于学生刚入学不久的高等数学课就要接触极限概念，而且数列极限的-N定义中符号关系复杂，不易理解，如果不能理解好数列极限的-N定义，这将会影响学生学习高数的信心。怎样教数列极限，才能让学生真正了解它的直观背景，理解它的思想方法，而不至于只是形式地去“理解”它的定义，机械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向-N定义过渡和转化。笔者总结多年教学经验，对数列极限定义的教学过程进行了如下设计：

1.导入新知—-让学生体会极限的思想方法及极限定义发生发展的过程

介绍我国古代数学家对数列极限思想所作的贡献。如公元前四世纪，我国古代的哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，这句话用数量形式加以描述，便得到每天截去一半所余的尺数是一个无穷等比数列111111，2,3,,n，然后启发学生思考由无穷数列n的变化趋势怎样去解释“万世22222不竭”的含义。通过思考，学生最后得出结论：“

1越来越接近0，但永远不等于0，所以n2万世不竭。又介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法—割圆术，就是用到极限思想研究几何问题。他首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正十二边形、内接正二十四边形、内接正四十八边形„，当边数无限增大时，从图形上看，内接正多边形无限接近于圆，从数值上看，内接正多边形的面积无限接近于一个常数，这个常数就是该圆的面积。通过模拟割圆术，使学生比较具体的感受到“无穷数列的变化趋势”，加深了学生对“变化趋势”、“无限接近”、“极限”等感性的认识。

2.无穷数列的概念—-让学生理解数列也是一种函数，我们主要关心其变化趋势

这里告诉学生：数列xn可以看作自变量为正整数n的函数，即xnf(n),nZ.这样后面函数极限定义的讲解可以从数列极限定义自然地过度。然后，让学生对数列 1 作者简介：顾庆凤（1979.1）,女,硕士,讲师,硕士,研究方向：排队论。n1(1)nnn,,(1),2考察：当n时，这些数列分别无限接近多少。从而让学2n生明白：对于数列xn，我们主要关心当n无限增大时，数列xn无限接近什么？

3.通过观察引出极限的描述性定义

通过第2部分的例子让学生直观地归纳出数列的描述性定义：“如果n无限增大时，数列xn无限接近于一个常数a，则称该数列以a为极限，记作limxna或xna(n).n如果这样的常数a不存在，则称数列xn没有极限。这里指出描述性定义易懂但不精确，科学的极限定义必须超越直观与想象，在运算和推理论证中具有可操作性，所以必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述的语句转换为定量的刻画。

4.从极限的描述性定义向-N定义转化

结论“xn无限接近于一个常数a”的转换：该语句等价于“距离xna可以任意小”，因此表达成“0,xna”，但此式的成立是以“n无限增大”为前提的，这个前提条件表达成“N(某项数)，当nN时”。所以“n无限增大时，数列xn无限接近于一个常数a”的转换成：“0,N(某项数)，当nN时，有xna”。这相当于说，0,n1,2,N时不必有xna，从N1项起后面的所有项皆有xna，即xN1a，xN2a，。

5.-N定义的进一步分析

教师还须对-N定义作进一步的解释，要指出：

①是事先给定的任意小的正数，它具有两重性。一是它的任意性，因此它不是一个固定的常数，它是用来刻画xn无限接近于常数a的程度的；二是它的相对固定性，一经取定，就相对固定了下来，以便根据它去求出N。

②N的相对存在性。N由相应的确定，一般越小，N越大，有时N也记成N(),但并不意味着N由唯一确定。N重要的是存在，而不在乎其大小。

③与N的关系：任意给定后，才能找到相应的N，当n满足nN时，才有xna，其中N是给定后才确定的。

6.从理性认识又回归感性认识，对定义作出几何解释

介绍极限定义的几何意义，将数学语言转化为几何语言：不管多么小，总能找到一个正整数N，从N1项开始后面的所有项xn都落在点a的邻域内，在邻域外最多只有有限项x1,x2,,xN.通过对极限定义的几何表达，学生对于图像这样的具体表现形式更容易接受和理解。

7.用极限的-N定义来证明数列的极限

首先分析如何用-N定义来证明limxna.任意给定了之后，问题的关键就是找正

n整数N，使得当nN时，就有xna都成立。那么怎么找N呢？问题转化为根据去找N，也就是说，从不等式xna出发，去解一个关于n的不等式，一定要推出nh()的形式，这样的[h()]就是我们要找的N。

n2然后师生按-N定义证明极限lim0;lim21;limqn0,q1。

nnn1nn1指出论证的目的是对任意给出的考察相应的N是否存在，总结解题步骤，初步学习证明数列极限的方法，其中涉及不等式适当放大的技巧。