探究性学习抛物线焦点弦教学设计_抛物线焦点弦教学设计

探究性学习抛物线焦点弦教学设计由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“抛物线焦点弦教学设计”。

探究性学习抛物线焦点弦

探究性学习是一种以发展探究思维为目标，以学科的核心知识为内容，以探究发现为主的学习方式。在中学数学教学中，引导学生开展探究性学习，对我们每一个数学教师来说，是一个谁也不可回避的新课题。本节以现行高中新教材P.61的“例3：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于A、B，求线段AB的长”的教学过程设计为例，谈一谈如何在例题教学中引导学生开展探究性学习，现将教学过程的设计介绍如下：分步推进，引导学生探究多解

本节课一开始，教师就让学生认真阅读例3，并思考如何解决以下3个问题：

①求出直线AB的方程。②求出交点A、B的坐标。

③如何求线段AB的长？计算AB长是否一定要具体计算A、B的坐标？

由于创设了一题多解的情境，对于问题③，学生中出现了3种解题思路：

思路1 ：先求交点坐标，然后直接运用两点间的距离公式求线段AB的长。

思路2 ：根据抛物线定义，把线段AF与BF转化为线段AA/和BB/（图见教材P61上的图，也是下文提到的“题图”）。

思路3： 利用圆锥曲线的弦长公式。

那么，哪种解法最好呢？教师请学生用三种解法分别解之，并加以比较。经过演算，大家一致认为，思路1虽然想起来很顺，但运算量较大；思路2从焦点弦的特殊性入手，是数形结合思想的典型应用，是解本题的最佳解法；思路3利用两根之和与两根之积的整体关系进行处理，避免了求交点坐标，也不失为一种好方法。以上过程通过创设问题情境，激发了学生的探究欲望，使他们主动地参与到课堂教学中，做学习的主人，并自主整和了知识结构，对3种解题方法有了一定的认识。2

辨析深化，探究解法的选择标准

在完成了上述任务的基础上，教师接着提出了下列问题：

问题1 ： 斜率为1的直线经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线相交于A、B两点，且线段AB=8，求p的值.问题1是例3的逆向问题，由于有了例3的解题体验，学生们不约而同地选择了思路2的解法，得p=2。3

改编原题，探究焦点弦的内涵

完成了问题1与问题2，教师让学生探究：如果例3中直线的斜率情况未知，抛物线方程的参数p也未知，设A、B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），那么y1y2的值与参数p有何关系？

由例3解法1中 y1与y2的具体数值知，y1y2=－4，而例3中的参数p为2，于是有的学生猜想y1y2=－2p，也有学生猜想y1y2=－p2，还有学生猜想y1y2=－pp，学生中便出现了以下3个命题：

命题1 ：如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=－2p.命题2： 如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=－p2.命题3： 如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2=－pp.究竟谁对谁错，还需理论上严格证明。于是教师要求每位学生对自己的猜想进行证明。经过几分钟的论证，持命题2观点的学生获得了成功，他们证明如下：

证：当斜率存在时，设过焦点的直线为y=k（x－p/2）(k≠0), 即 x=1/ky+p/2

将上式代入y2=2px，得

y2=2p（1/ky+p/2）去分母后整理得

k y2－2p y－k p2=0 设这个方程的两根为y1、y2，则有 y1 y2=－k p2/ k=－p2 当斜率不存在时，y1= p，y2=-p，仍有y1 y2=－p2.故命题2成立。

俗话说，“吃一堑，长一智”。在上述证明中学生摆脱了“陷阱”，注意到了当直线斜率不存在时的情况的讨论，同时证明中再次渗透了分类讨论的数学思想。

经过学生们的自行探究，焦点弦的一个内涵，即y1 y2=－p2被“挖”了出来，由学生作业改为课堂探究，学生对焦点弦的这一性质有了一个更深刻的认识，与此同时也进一步培养了他们思维的严密性。

着眼题图，激励学生编题创新

我们知道，例3的题图极具典型性，图中蕴涵了许多重要结论，有待于学生去发现。为了培养学生的直觉思维，教师请学生仔细观察例3的题图，并回答下列问题：

①如果连结FA/和FB/，那么它们的位置关系如何？

②设弦AB的中点为M，点M在准线上的射影为M/，那么线段AM/与BM/的位置关系又如何？

③A、O、B/三点有何特殊的位置关系？A/、O、B三点呢？ 由于创设了探究情境，他们很快发现了图中各种特殊的位置关系。接着教师要求学生根据自己的观察结果编题，并在课堂上交流。

编题可不是一件容易的事，要求学生根据题设与结论字字斟酌，句句推敲，但他们还是编得相当成功。

对照问题①，学生们编出的题目是“过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线和抛物线相交于A、B两点，A/、B/是A、B两点在准线上的射影，求证∠A/FB/=90°”.对照问题②，学生们编出的题目是“A/、B/、M/分别是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两个及其中点M在抛物线准线上的射影，求证A M/⊥B M/。”也有学生提出了这样一个命题：“以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。”

对照问题③，有些学生编出的题目是“过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线和抛物线相交于A、B两点，A/、B/是A、B两点在准线上的射影，求证A、O、B/三点共线。”有些学生编出的题目是“过抛物线焦点的一条直线与它交于A、B，经过点A和抛物线顶点的直线交准线于B/，求证直线BB/平行于抛物线的对称轴。”还有些学生编出的题目是“过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线和抛物线相交于A、B两点，点B/在抛物线准线上，且BB/∥x轴，求证直线AB/经过点O。”

紧接着，教师对他们编的题逐一加以点评，并指出：同学们根据问题①编的题就是唐山本的例题；根据问题②得到的命题是抛物线焦点弦的又一大特性；而根据问题③编的题就是2001年的全国高考题，或者说是高考题的“翻版”。原来高考题并不神秘，就在我们的探求之中，学生们兴趣盎然，他们深深感受到了出题的乐趣，与此同时，也激发了他们学习的主动性与积极性，在探究中培养了他们的创新能力。

最后，教师趁热打铁布置作业，就请同学们课后完成自己编的题目，要求一题多解，允许相互探讨。至此，借助于例3的探究性学习，一类抛物线焦点弦问题得到了圆满的解决。