比例线段教学设计_成比例线段教学设计
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比例线段
【学习内容】
1、比例及其性质。
2、两条线段的比，比例线段。
3、黄金分割。
【重点、难点】
重点：比例及其性质，黄金分割。
难点：比例性质的运用。
【知识讲解】
一、复习与巩固比例有关内容。
1、四个数a，b，c，d成比例定义，比例的项，内、外项的含义。
(1)两个比相等的式子叫比例，记作：b，c，d均不为0)。
(2)“比”——两数相除叫两数的比，记作：(a∶b)，在此a是比的前项，b是比的后项。
(3)中各部分名称
(a∶b＝c∶d)，称作：a，b，c，d成比例(其中a，①a，d叫比例的外项
②b，c叫比例的内项
③d叫做a，b，c的第四比例项(a，b，c顺序不准乱动)
(4)比例中项
若a∶b＝b∶c，则b叫a，c的比例中项。
如：在比例式
2、比例的基本性质
小学学过“比例的外项乘积等内项的乘积”，故
可推出a·d＝b·c。其实我们可以这样去
两边同乘bd得到a·d＝b·c；
中，c是线段3a、m、m的第四比例项。m是线段3a、c的比例中项。
理解，因为a，b，c，d均不为0，用等式性质(去分母法)将反之，将ad＝bc同除以bd可得
“
。因此，我们得到如下的比例基本性质：
”的意义是由左边可推出右边，且由右边也可推出左边，称为等价符号。
b2＝ac这两个式子均表示b是a，c的比例中项。
不同的比例式：
如：
其实，由ad＝bc还可得到另七个与 1、二、线段的比，比例线段
1、线段的比 ：两条线段的比就是两条线段长度的比。
如：(1)若a，b为两条线段，且a＝5cm，b＝10cm。它们的比：a∶b＝5cm∶10cm＝0.5。
(2)若c，d为两条线段，且①c＝5cm，d＝100mm。求c∶d；②c＝0.05m，d＝0.1m，求c∶d。
①d＝100mm＝10cm，故c∶d＝0.5 ②c∶d＝0.05m∶0.1m＝0.5
注意：1)、a，b代表两条线段，a∶b＝k，a是b的k倍；（一般a∶b≠b∶a，只有当k＝1时，a∶b＝b∶a）
2)、求两条线段的比时，必须统一单位；
3)、两条线段的比值与采用的长度单位无关；
4)、两条线段的比总是正数(因为线段长为正数)；
2、比例线段
(1)在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
(2)概念的理解
①必须是四条线段才能成比例，并且有顺序。若若a，b，c，d成比例，则有
②在；若，则叫a，b，c，d成比例；反之，这些是比例的变形。比例变形是否正确只需把比例式化为等积式，看与原式所得的等积式是否相同即可，相同说明正确，反之，比例变形就是错误的。，则叫c，d，a，b成比例。
中，b是c，d，a的第四比例项。中，d是a，b，c的第四比例项，而在③在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项。
在线段a，b，c，x中，若x＝，则x是a，b，c的第四比例项。
由此可见前面所学的比例性质均可用于成比例线段中。
④又如四条线段m＝1cm，n＝3cm，p＝4cm，q＝12cm，可以发现p，q成比例，不能说明m，p，q，n成比例，因为m，p，q，n成比例，则有
3、应用比例的基本性质判断成比例线段
将所给的四条线段长度按大小顺序排列，如：a＞b＞c＞d，若最长(a)和最短(d)两条线段之积ad与另两条线b、c之积bc相等，则说明 线段a，b，c，d 成比例。
三、比例的另外两条重要性质，这说明 m，n。
1、合比性质
如果
因为：
2、等比性质，那么，∴，∴
如果＝……＝(b＋d＋……＋n≠0)，那么
因为：设，则有a＝bk，c＝dk，……，m＝nk
∴
四、黄金分割
1、黄金分割：是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点。
说明：
①一条线段有两个黄金分割点。
②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值。德国著名天文学家开普勒(Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学。
2、黄金分割的求法
①代数求法：
已知：线段AB
求作：线段AB的黄金分割点C。
分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB，设，AB＝，AC＝x，那么 CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)
整理后，得：x2＋x－＝0
根据求根公式，得：x＝
∴(不合题意，舍去)
即 AC＝AB≈0.618AB
则C点可作。
②黄金分割的几何求法（尺规法）：
已知：线段AB
求作：线段AB的黄金分割点C。
作法：如图：
(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB。
(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB。
(3)在AB上截取AC＝AE。
则点C就是所求的黄金分割点。
证明：∵AC＝AE＝AD－AB
而AD＝
∴AC＝
∴C点是线段AB的黄金分割点。
例2：已知，线段a＝cm，b＝4cm，c＝cm，求a，b，c的第四比例项。
解：设a，b，c的第四比例项为xcm，根据比例的定义得：，∴a，b，c的第四比例项为cm。
例3 ：已知，a＝2.4cm，c＝5.4cm，求a和c的比例中项b。
解：依题意得：b2＝ac＝2.4×5.4＝12.96
∴b＝±3.6
∵b为线段
∴b＞0
∴b＝3.6cm。
例4 ：已知，线段a＝1，b＝，c＝，求证：线段b是线段a，c的比例中项。
证明：∵ac＝1×，b2＝
∴b2＝ac
∴线段b是线段a，c的比例中项。
例5 ：若3x＝4y，求。
解：∵3x＝4y
∴
同理，甡合比怇质徖：
∴
∵x＝49
∴も
侊：巒知＄。
①当b＋d（f≠0斶，求的倸。
␡当b－2d＊3f≠0时，求的值。
解：①∕错误!
且b＋d）f≠
∴由等比性质得：
⑁∵
∰
且b－2d＋3f∀
∔错误!??。例7：在相同时创的物高与影长成比例，妀果一古塔在地面上的弱镽为50籓，同斶，高为1.米的测竿的影长为2.5籲，那么古塔的高是多少米？
分析：“圈相同时刺的物骘丆影长成比例” 的含义，昧指用同一时刻两个物体的高与它们的对应影长成比例。
解：设，古塔的高ะx米（核据题意徖：
∴2.5p＝1*5䃗50(比例的基本性质)
∰x－30(米)
答：古塔高丸 30 籣。
例8：如图，AD＝15，AB＝40，AC＝2, 求：AE。
错误!
分析：由条件中给出AD，AB，AC，最她能利用比侊的性质将DB，EC 轨化为题中已知条件AB（AC。
解：∵
∴
∴
即
∴AE＝
＝10.5(cm)。
(合比性质)
例9：已知，线段AB，求作AB的黄金分割点。
解：①可用代数求法，不妨设黄金分割点为C，求出AC≈0.618AB，则点C可作。
②可用几何尺规作图法（见知识讲解中黄金分割的求法）。
③若不限尺规作图，用量角器可作以线段AB为一腰，顶点为∠A＝36°的等腰ΔABC，然后作 ∠ACB的平分线CD交AB于D，则点D就是AB的黄金分割点。
【巩固练习】
1、从下列式子中求x∶y。
①(x ＋ y)∶ y ＝ 8 ∶ 3
②(x－y)∶y＝1∶2
2、已知：
3、已知：
4、已知：如图，BF 的长。，AB＝8cm，AD＝2cm，BC＝7.2cm，E为BC中点。求：EF，x＋y－z＝6。求x，y，z。求：(a＋b＋c)∶b。
5、已知，线段a＝2，且线段a，b的比例中项为
。求：线段b。
6、已知，点P在线段AB上，且AP∶PB＝2∶5。求AB∶PB，AP∶AB。
7、ΔABC和ΔA′B′C′中，的周长。
8、已知，如图。求证：(1)
(2)，且ΔA′B′C′的周长为50cm。求：Δ ABC
【巩固练习答案与提示】
1、①
②2、3、x＝9，y＝12，z＝154、提示：
BF＝3.6＋1.2＝4.8(cm)
5、b＝56、∵ ∴ ∴
∵
∴，7、ΔABC周长为30cm。
8、提示：①
由①，(比例基本性质)
