实数的运算教学设计_实数及其运算教学设计
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17.5 实数的运算
〖教学目标〗
（－）知识目标
1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.3.正确运用公式.4.了解二次根式和最简二次根式的概念.（二）能力目标
1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.（三）情感目标
通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。
时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养
这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.〖教学重点〗
1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.2.发现规律：.并能用规律进行计算.〖教学难点〗
类比的学习方法.2.发现规律的过程.〖教学方法〗 尝试法 〖教学过程〗
一、课前布置
自学：阅读课本P112~P113，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.二、师生互动
（一）二次根式的理解：形如()的式子叫做二次根式 说明：1.被开方数大于0； 2.()具有非负数的特性.3.性质：一般地是a的算术平方根，于是有 ? 练习：
1.若有意义，则______ 2.（06泸州中考）要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足的条件是（）A.x≥1
B.x≤1
C.x>1
D.x
2.A 3.解：依题意
解得
当时，4.解：（1）；（2）。
（二）一起交流课本P112的“做一做”
［师生共析］在有理数范围内，可以进行加、减、乘、除和乘方运算，运算后所得到的数仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零可以进行开平方和开立方运算，负数可以进行开立方运算。即：正数和零的平方根是实数，任何一个实数的立方根是实数。
关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。1．理解积的算术平方根的性质，必须注意：
（1）被开方数的每一个因子或因式必须是非负数，没有这个条件，性质不成立.（2）这个公式的作用是化简二次根式，如果被开方数中有的因式（或因子）能开得尽方，可以利用此公式及公式＝a（a≥0），将这些因式（或因子）开出来，因此化简二次根式时，一般先将被开方数进行因式分解或因子分解.（3）积的算术平方根的性质对于当因子是三个或三个以上时仍然成立.如：＝ ···（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）.（4）积的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的乘法公式，即·＝（a≥0，b≥0），运用这个公式可以进行简单的二次根式的乘法运算.2.二次根式的性质： ＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0,b>0).（三）利用性质化简
［师］利用你自学的知识，说一说什么样的二次根式需要化简
［生］被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.［生］被开方数中含有分母，需要化简，化简后被开方数中没有了分母.如：
［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.（鼓励学生讲解教师提供的例题）如：
巩固练习：
化简：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).（四）最简二次根式
［师生共析］最简二次根式所满足的条件：
条件一，即为被开方数不含分母；条件二，即为被开方数的每一个因子或因式的指数都小于根指数.要判断一个根式是否为最简二次根式，两个条件缺一不可.（五）引导学生小结：
1．化二次根式为最简二次根式的方法：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.（2）如果被开方数是整数或整式，先将它分解因子或因式，然后把能开得尽方的因子或因式开出来，从而将式子化简.2.二次根式的化简应注意以下问题：
（1）被开方数含有带分数，通常化成假分数.（2）被开方数是和、差的形式，应把它分解因式，化成积的形式.（3）根号内的分子或分母移到根号外时，应保留其对应的位置（即原来是分母的移到根号外后还是分母）．
（4）在整个化简过程中应注意符号问题，特别是注意被开方数是非负数这个隐含条件.练习：1 下列各式中哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由.(1)；(2);(3);(4);
(5);(6)(x≤0)；(7)
本题考查最简二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义逐个判断.1.解
只有(3)、(5)、(6)是最简二次根式.理由：
(1)中的0.3不是整数，所以不是最简二次根式；
(2)中的27x＝32·3x，因数含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式.(3)的8a2b＝(2a)2·2b，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式；(4)中的a2+a4＝a2(1+a2)，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式； 总结
本题的易错点是误认为,不是最简二次根式，误认为是最简二次根式.三、补充练习 作业：P114习题 〖巩固练习〗
1.下列各式：，，，(a
.2.x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.(1)；
(2)；
(3).3.计算下列各式：(1)()2；
(2)；
(3)(2)2.〖答案提示〗
1.分析：本题考查二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义去判断.解
∵，的根指数不是2，∴
它们不是二次根式.∵
在中，被开方数-4
不是二次根式.∵
在中的被开方数2a-1有可能小于0，∴
不是二次根式.∵
在中，被开方数4>0，∴
是二次根式.∵
在＝中被开方数(a+1)2≥0，∴
是二次根式.∵
在中被开方数a2+2>0,∴
是二次根式.总结
本题的易错点是忽视二次根式中被开方数是非负数的隐含条件，注意这个隐含条件是本题的解题关键.2.解
(1)2x+3≥0，即x≥-.∴
当x≥-时，有意义.(2)1-3x≥0，即x≤.∴
当x≤时，有意义.(3)∵
x不论取何实数，总有(x-5)2≥0，∴
x为任意实数，有意义.3.分析：(1)由()2＝a(a≥0)直接可得，(2)要注意应先计算，然后再求算术平方根，(3)根据积的乘方法则，这里2也要平方.解
(1)()2＝15；(2)＝＝；
(3)(2)2＝22×()2＝4x.总结
本题的易错点是第(3)小题的2不平方，错成(2)2＝2x.八、板书设计
课题 实数的运算 二次根式
利用性质化简
例2 二次根式性质
例1
最简二次根式
课堂练习
