《数学归纳法》的教学设计 孙万青 山东省安丘市第一中学_数学归纳法的教学设计

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《数学归纳法》的教学设计

孙万青

山东省安丘市第一中学

一、教材分析

本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

二、学生分析

1．学生已有的经验和基础．(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．(3)学生具有学习数学归纳法的心理需求，2．学生可能遇到的问题与困难．(1)对数学归纳法产生源头及其所要证明的问题的特征理解不到位。(2)形成和得到数学归纳法原理时，如何把无穷的不断重复的递推过程用有限的、一般性的步骤来代替学生会有困难。(3)对数学归纳法第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明、如何利用归纳假设进行证明，学生往往难以理解。(4)学生初学数学归纳法时容易把注意力集中到第二步归纳推理上，而对第一步归纳奠基重视不够．

三、教学目标

1．经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法．

2．理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可，尤其是归纳假设在证明中的地位和作用；能体会到数学归纳法的实质和核心是递推．

3．能利用数学归纳法证明简单的、蕴含着递推关系的、与正整数有关的命题；能把数学归纳法与观察、归纳、演绎等其它思维方法结合在一起加以使用．

四、教学重难点 1.重 点

（1）初步理解数学归纳法的原理。

（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。2.难 点

（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

3、难点突破：基于学生已有的、模糊的数学归纳法的萌芽，充分考虑学生可能会遇到的困难，通过强化数学归纳法思想的形成过程，揭示数学归纳法的本质来突破难点．

五、教学过程(一)提出问题，培育萌芽

问题1：一只口袋中有许多球，第一个取出的是白球，第二个、第三个取出了也是白球，你能肯定这只口袋的球都是白球吗？为什么？ 问题2：等差数列通项公式：

． 你能确认上式成立吗？为什么？根据是什么？

问题3：对于数列，已知，(n=1,2,3„)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式

(1)你能肯定这个结论成立吗？为什么？

(2)如果对第5项，第6项，第7项继续验证，那情况会怎样？如果，那么是否有？

(3)你能证明这个猜想成立吗？你是否认为上面的验证过程可以无限地进行下去？如果可以，你能否用更一般的形式来表示？或者，更一般地，我们能否把这个无限的问题转化为有限的问题加以解决呢？

(二)明确思想，提炼方法

问题4：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)问题5：问题

2、问题

3、问题4有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么？

通过学生讨论，达成以下共识：

(1)问题的特征：P(1)真 P(2)真 P(3)真 P(4)真 P(5)真„ 其实质是当k≥,时，P(k)真必有 P(k+1)真。

(2)．递推公式着的下一个值也成立”．，保证了“结论对前一个值成立，则对紧接问题6：你认为前面得出的结论：题的方法与步骤？

通过学生讨论，得出以下结论： 一般地，如果一个与自然数n有关的命题(1)当n取第一个值(2)由n=k(k≥,时命题成立；，以及所有的多米诺骨牌都会倒下等，是否都正确？如果是，你能否由此归纳、总结、提练出证明与自然数有关命

满足以下两个条件：)时命题成立，必有n=k+1时命题也成立． 由上，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．

问题7：上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？

在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．如在前面的问题3中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．

问题8：在实际证明过程中，我们是否已经确认n=k时命题成立？

注意：这里是学生理解数学归纳法的难点之一，需要教师提醒学生注意，并做出明确的、合理的解释．因为在证明结论之前，还不知道n=k时结论是否成立，因此只能是假设成立．同时为了使这个假设有一定的基础，因此这里要求k≥,．

由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值(2)假设n=k(k≥,（）时命题成立；)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

对从

开始的所有正整数n都成立． 由上两个步骤，可以断定命题这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．

(三)巩固应用，形成技能

例1 用数学归纳法证明

()．

注意：考虑到本节课是数学归纳法的第一课时，因此在例题的选择与安排上不人为拔高，避免学生分散精力，影响重点、难点的掌握和落实．在解题的技能与方法方面，重在提醒学生进行解题反思，加强解题感悟，如搞清楚利用数学归纳法证明的前提是命题不仅是与正整数有关，而且命题k=n与k=n+1存在内在的递推关系，关键是如何合理地利用归纳假设，搞清楚，注意点是书写和表述规范．

(四)回顾总结，促进迁移 1．本节课学到了什么？ 2．这些知识是怎样得出的？ 3．你有什么体会与感悟？(五)检测成效，反馈矫正

1．用数学归纳法证明：

(1)当n为正整数时，1+3+5+„+(2n-1)=n2；(2)1+2+22+„+2n-1=2n-1．

2．已知数列„，计算S1，S2，S3，由此推测计算Sn的公式，并给出证明．