解三角形应用举例教学设计_解三角形应用举例教案
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解三角形应用举例
教材：普通高中课程标准实验教科书·人教B版·必修5·1.2
一、教学目标 1 知识与技能目标
初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题． 2 过程与方法目标
（1）．通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；
（2）．进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解
决实际问题的能力． 情感、态度与价值观目标
（1）．通过学生亲自实施对“测量” 问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；
（2）．发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。
二、教学重点、难点重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．
三、教学方法与手段教学方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。教学手段：实际模拟、合作学习、多媒体（投影仪）
四、教学过程
【教学环节一：复习回顾】 教学内容： 完成下列两个小题：
① 在△ABC中，已知A=30, B=30, c =
0
0，则a =_______，c =_______。
② 如图，为了测量某障碍物两侧A、B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（），最好不要选用数据（）
(A)
(B)
(C)
(D)
师生互动：学生独立完成上面两个小题，并作出回答，回答时阐明作答依据。
设计意图：（1）复习：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。
（2）为本节课重点知识的学习做一些知识准备。
【教学环节二：问题一的提出与解决】
教学内容：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？
我校科技楼顶矗立着一座天文观测台，如何通过测量，求得天文台顶距地面的高度？
师生互动：分析、探究、讨论、归纳。
① 教师带领学生一起分析题目背景――天文台顶到地面的距离指天文台顶（记为点A）到它在地面上的正射影（记为点B）这两点间的距离，而在这里显然B点无法到达，故不能
直接测量。
② 发动学生分组讨论解决方案：既然不能直接测量A、B两点的距离，我们是否可以考虑利用可测量的其它数据得出所需数据？
③ 讨论过程1：可在适当的地方（能看到顶点A的可到达的一点）选取一点C，对AB进行测量，如图1－A，设CC1表示测量仪器的高，在△AB1C1中只能测得∠AC1B1（即在C1点测的点A的仰角，记为）。要求得AB，须再选取另一点D。设测得CD = a，∠B1C1D1＝，∠C1D1B1＝,则在本题中可抽象出两个空间关系的三角形，其中△AB1C1是直角三角形。在△B1C1D1中，由、a根据正弦定理可求得B1C1，在Rt△AB1C1中，由
问题得解。即：
和B1C1可求得AB1，在△B1C1D1中，即，所以
在△AB1C1中，AB1＝B1C1·tan，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1.④ 实施方案：学生用自制的仪器对天文台实施测量（可在课下进行），得数据如下：
测点距地面1.5m。
在满足精确度为0.1m的前提下，请同学们计算所求距离。
过程：易解得
所以
因此天文台顶距地面的高度约为
⑤ 反思完善：
米。
提问：下面请同学们回顾刚刚我们的实际操作过程，有无问题存在？
学生经过讨论，（一般会）发现有两个问题，一是在测量过程中的B点或B1点不可到达，实际操作时是大体估计的位置，准确度差；二是学生会觉得还有更简方法。
学生分组讨论，然后发表讨论结果。
如图1－B，由于B点或B1点不可到达，所以不考虑图1－A中的∠B1C1D1和∠C1D1B1，而点A是可见的，于是我们可以准确测量出∠AC1D1＝，∠AD1C1＝, CD = a，这样，在△AC1D1中，由、a根据正弦定理可求得AC1，在Rt△AB1C1中，由AC1可求得AB1，问题得解。即：
和在△AC1D1中，即，所以
在△AB1C1中，AB1＝AC1·sin，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1
评：这个方法应该是完全可行的，只是计算还有些麻烦。具体的测量和计算由学生课
下完成，写成实践报告。
我们可以做如下测量，在可到达的地方取C、D, 使这两点与点A在地面上的垂线在同一平面内（这样可以保证B、C、D三点共线），如图2，设CC1表示测量仪器的高，在C1点和D1点分别测得A点仰角为，C1D1＝a，于是，在△AC1D1中，我们可以利用正弦定理求
求出AB1，最后求出AB=AB1＋B1B.得AC1，再在Rt△AB1C1中，利用
评：此法比较容易操作，但C、D两点的选取多少需要些技巧。
⑥归纳总结：学生对照问题及三种解决方案总结解决该问题的方法及注意事项，并建议学生阅读教材问题一及处理方法，加深对上述方法的认识。
设计意图：从获取数据开始，使学生亲身经历并体验如何将实际问题转化为数学问题，从而得到解决。在讨论过程中，引导学生利用所学知识分三步层层发掘，探寻解决问题的最佳方案，感受数学的应用价值、人文价值、美学价值。在这一环节的教学中，采用认知建构教学理论和合作学习，在学生获取解决问题的方法的同时，注意了学生多元智能的发展。
【教学环节三：问题二的提出与解决】
教学内容：怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？ 设A、B是两个海岛，如何在岸边测量它们之间的距离？
师生互动：
①合作探究：学生分组讨论，探寻解决问题的方案。以下是讨论内容与过程：与问题一类似，如果只选一个观测点C，在△ABC中只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决。因此需要再选择一个测点D，构造出一个能测出其一条边长的△BCD。要求出AB，还应先求
出AC和BC，为此应先解△ACD和△BCD。
②演练方案：按照上面讨论的方案，各组同学进行模拟演练：如图3，在岸边适当选取点C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），测得
在△BCD中，由正弦定理，可以得到:，同理，在△ACD中也可以得到在△ABC中，由余弦定理，得
.，从而求得AB。
设计意图：深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，加强学生的合作意识，培养学生探寻解决问题的方法的思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。【教学环节四：课堂练习】
练习内容：教材第16页，练习A，1
师生互动： ① 学生独立完成练习
② 教师展示答案：先利用投影仪把有代表性的几个学生的解答过程展示在大屏幕上，由学生自由讲评，教师总结。
设计意图：
通过反馈矫正，初步了解学生对本节教学内容的掌握情况，并及时给予调整。
【教学环节五：教学评价】
1、让学生先进行分组总结，思考三个问题：
① 本节课我们研究了什么？提出了什么问题？问题解决了吗？
② 本节课你学到了哪些方法？掌握了哪些技能？
③ 你认为自己对本节课内容掌握的好不好？课后打算怎样进一步巩固？
2、学生代表发表讨论的课堂总结，互相补充。
3、教师进行总结，要点如下：
① 两个问题：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？
怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？
② 运用数学知识解决实际问题的基本思路：首先要在理解题意的基础上将实际问题数学化，然后再利用有关定理、性质、公式解决之。步骤如下：
③ 提高实践能力（如测量的精确度）。
【课后作业】
1、教材P16，练习A，2； 教材P16，练习B，1、22、各小组利用自制的仪器，在我们周围选一较高建筑物用本节学习的方法测量其高度。
写出测量报告。附：教学设计说明
一、教学内容的特点及处理
根据教学内容的特点，这一课时的教学重点是解决两个与测量有关的问题。在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位。对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与，合作完成的，而教师很好的充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂。
二、教学目标的确定
根据本节课教学内容的实践性强的特点，在确定教学目标时注重了三方面的要求：一是初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题这一知识与技能的要求；二是强调了学生从实践过程中发现积累知识这一认知建构主义教学模式；三是明确提出了学生要从经历问题解决的全过程中学习这一体验性目标。
三、教学方法的选择
根据上述分析，本节课就特别适用建构主义教学模式下的分析实践、自主探究、合作学习这一十分有利于学生多元智能发展的教学方法。
四、教学过程的说明
高中新课程标准强调教师要在教学中帮助学生形成积极主动的学习态度，要将学习过程变为学生学会学习、学会合作、学会生存、学会做人的过程。
在进行教学设计时，我把教材中的问题一做了小小的改变：测量故宫的角楼改为测量本校天文台顶到地面的距离。这样，学生可以直接参与方案的探寻、数据的获取与分析、结论的得出全过程，可以“从实践中直接获取知识”，在获得真实的过程体验同时，掌握了解决测量问题的方法。而且，这样的实践，学生非常乐于参加，自然有了积极主动的学习态度。通过对问题一解决方案的不断优化，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性和数学的简单化原则。当解决了方案一的瓶颈后，当得到了简单的方案三后，我们从精神上得到了彻底的满足，数学的应用价值和美学价值在这一刻获得了清晰地体现。
