《正弦定理》教学设计_正弦定理教案教学设计

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《正弦定理》教学设计

教学目标：

1、理解并掌握正弦定理，总结归纳用正弦定理解三角形问题的步骤。

2、探究证明定理的方法，理解正弦定理是对任意三角形中“大边对大角、小边对小角”的量化研究，从中体会知识的发生发展过程。

3、在探究及其证明的过程中，培养学生发现问题、解决问题的能力，初步感知数学中由定性到定量的思维方法。

教学任务分析：

正余弦定理作为解三角形的基础，重要性不言而喻。一方面它们可以合力解决数学中的大量问题；另一方面，它们在实践中也发挥着重大作用，比如距离、高度、速度等的测量。这节课是正弦定理的第一节课，需要先证明正弦定理和明确正弦定理可以解决哪些三角形问题。正弦定理的证明方法有很多，比如平面几何法和向量法，也是简单的方法，可是它们都无法轻易得出比值是2R这一结论，因而我在教学中采用外接圆的方法，将三角形内角转化成直角三角形中的锐角，再利用锐角三角函数得出定理，过程稍稍复杂，可对于提高学生分析问题、解决问题的能力还是有帮助的。这节课还会通过练习让学生总结归纳正弦定理解三角形的类型和方法。综上，我将本节课的教学重点定为：正弦定理的证明及其使用。学生情况分析：

一方面，正弦定理和余弦定理作为解三角形的理论基础，它们形式简洁漂亮，学生易于接受。在探究证明方法时，学生也具备一定的分析问题的能力，也储备了一些知识，比如初中时平面几何中的知识和已经学习过的三角函数的知识，他们也知道也将问题做类比和转化，这些无疑都是有利的。可是，另一方面，高一的学生在综合应用所学知识上还有欠缺，思维也不够缜密，比如这节课从直角三角形中得到边角关系后，接下来要证明在任意三角形中也成立，学生可能束手无策，不知道将问题引向何处，这时就需要教师的引导。另外，现在很多学生运算能力相对薄弱，也会导致用正弦定理解三角形时漏解或多解情况的出现。总之，我认为学好正余弦定理也是将学生的思维水平和运算能力提高的一个好机会。综上，我将本节课的教学难点定为：

1、探究定理证明的方法，比值等于2R的由来。

2、由正弦函数在区间上的单调性分析正弦

3、应用正弦定理解决第二类问题时，可能教学工具：多媒体课件。教学过程：

一、创设问题情境，引入新课 问题1：初 问题2：对对小角”仅是的知识得到这

中时你学过哪些关于三角形边角关系的结论？ 于任意三角形中的边角关系“大边对大角、小边一种感性认识，或者说定性分析，能否利用所学个边角关系准确的量化表示？如右图。

定理是一种定量的研究。碰见多解的情况。

设计意图： 对于问题1，学生可以提供多种答案，教师可以往任意三角形这个方向引导，问题2则开门见山奔向这节课的主题。

二、正弦定理的证明及其应用

（一）定理的证明

对于边角关系，首先想到的是特殊三角形，即直角三角形中的边角关系，我们先得到直角三角形中的结论，然后看能否推广到一般三角形中。

如右图，因而，由于C=900，sinC=1 所以可得

问题3：这是一个连比的式子，三者的比值相等，那么这个比值具体应该是多少呢？

分析：比值等于,联想到直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，即斜边是外接圆的直径，用2R表示。

由此得到 设计意图：这个问题的解答很关键，起到承上启下的作用。接下来，只需探讨该结论是否适合一般三角形，而2R是三角形外接圆的直径，就会自然而然将学生引向利用外接圆研究一般三角形中的边角关系。

以下是锐角三角形和钝角三角形中该结论的证明：

若△ABC是锐角三角形，则外接圆圆心在该三角形内部。连外接圆的一条直径BD,则

所以

因而

所以

在与学生共同探究的过程中，可以设置下面的问题：

（1）受直角三角形的启发，应该会用到锐角三角函数，所以一定要构造直角三角形，在外接圆已经做出的情况下，如何去构造直角三角形？

（2）如何转化角？即为什么若△ABC是钝角三角形，则外接圆圆心在三角形外部。连直径BD,则可得

（想一想，为什么？）？

在Rt△BCD中，又A=1800-D

所以sinA=sin(1800-D)=

即

得出与锐角三角形中相同

因而在钝角△ABC中，仍然成立。

综上，在任意△ABC中，都成立，即各边与其所对角的正弦的比值相等，且都等于三角形外接圆的直径，由于该式涉及角的正弦，即称作正弦定理。问题3：如何说明正弦定理是对任意三角形中边角关系的一种量化表示？ 分析：我们不妨反过来解释为什么“大角对大边，小角对小边”，即弦定理可知，只需说明

即可。

。由正（1）若A、B都是锐角，则。

（2）若A是钝角，B是锐角，由A+B

，得B

-A，又因设计意图：此问题是本节课的难点之一，很多同学会使用正弦定理，但是对于定理是刻画任意三角形边角关系这一意义含糊不清。在这会用到析，尤其是对于第二种情况，值得同学思考。定理的变式：（1）

(边化角)

在上的单调性进行分（2）（3）

（角化边）

（4）

（二）正弦定理的应用 解三角形：

称为三角形的元素，已知某些元素求其他元素的过程。

例1：△ABC中，已知=20，A=300，C=450，解此三角形。分析：这属于已知两边一角，求其余的一角两边的问题。例2：△ABC中，已知，=1，B=450，解此三角形。

分析：这属于已知两边及其一边的对角，求其余两角一边的问题。

问题4：对于例2，思考，为什么例1只有一解而例2有可能多解？，可能出现两解，如何取舍？进一步设计意图：用正弦定理的时候很容易出错的就是多解的情形，通过此例让学生探索取舍的办法。已知两角一边实质上该三角形就是确定的，而两边及其一边的对角时这样的三角形并不唯一。如果在课堂上可以顺利得出这样的结论，那学生会有茅塞顿开的感觉，势必会加强学习数学的兴趣和自信。

练习：已知在△ABC中，A=450，=2，解此三角形。

问题5：通过以上例题和练习，总结归纳正弦定理可以解决怎样的三角形问题，归纳出步骤。设计意图：这是本节课的收尾问题，由学生自己总结归纳。正弦定理应该是知三求三的过程，需要知道三个独立的条件，这点需要学生明白。

三、课堂小结

1、本节课的重要内容——正弦定理，是任意三角形中边角关系的准确量化。

2、本节课的思想方法：证明正弦定理时，先从直角三角形中得到结论，然后推广到一般三角形中，这种从特殊到一般的研究方法是数学中常用的思想方法。另外，还有类比、转化、归纳等方法。

四、教后心得

本节课是我刚上完的课，感触很深。证明正弦定理的方法很多，有比这种外接圆的方法简单的证明方法，比如向量法和课本上通过高的方法，但是唯有这种方法能够比较简单的得到比值是2R这样的结论，当然中间的过程也不算简单，要构造直角三角形，要将角转化，可是这些对于学生思维水平的提高还是很有帮助的，也能使得学生更加清楚数学知识发生发展的过程，将未知问题转化为自己可以动手操作的问题，我认为这一点意义还是很大。还有对于多解的情况，我希望学生可以借助内角和和大边对大角来判断，并没有加大这一点的难度。当然对于这节课的教法也希望得到更多老师、专家的指导。

板书设计： 1.正弦定理的证明

直角三角形

锐角三角形

钝角三角形 2.变式 3.例题、练习