《二面角》教学设计及反思_龙咚锵教学设计及反思

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《二面角》教学设计及反思

一、教材分析

二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和运用。

二、学情分析

学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异面直线所成的角、线现面所成的角，所以，有了一定的基础。但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，对学生来说作二面角的平面角又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。

三、教学目标

知识与技能：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

能力与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。

情感与态度：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

四、教学重难点

1、二面角的平面角概念的形成过程

2、寻找二面角的平面角的方法的发现过程

五、教学过程

1、二面角概念的引入

师：我们知道，面与面的位置关系分相交和平行两种，对于两个平面平行的研究已经很深刻了，现在我们来探讨两个平面相交的问题

让学生观察老师手里的教具（用两块硬纸板做成的大小可变的“二面角”）的变化。

师：你观察到了什么？生：好象有一个角在不断改变。师：对，它就是我们今天要学习的二面角；二面角在生产生活中随处可见，水坝面与水平面所成的角，卫星的运行轨道与赤道平面所成的角都给我们二面角的形象。

启发学生从这些形象中抽象出二面角的定义：

半平面—平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。二面角—从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角与平面中的角的对比如图1。

画法、记法如图2。

2、二面角的平面角的探讨

老师再次拿起教具在学生的睽睽众目下，全神贯注地把玩着，嘴里还在嘟噜：“这是二面角。”随着二面角的变化，语气变得十分惊讶：“看来二面角还有大小的，这时大，这时小。”终于头抬起来了，声音也提高了八度：“他的大小由谁决定呢？”

学生也开始了沉思。

老师不时时机地启发着，两条异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角是怎么定义的？

前者是通过平移转化为两条相交直线所成角，后者是通过找射影转化为两条相交直线所成角，所以人们考虑二面角的大小也转化为某两相交直线所成角来度量。

老师又第三次那起了教具，问：角的顶点（这两相交直线的交点）应选在那里？生1：棱上。老师回答：好（并用黄色粉笔在棱上标出一点）。

师：角的两边呢？生1：两个半平面内，老师回答：好（并用黄色粉笔过上面标出的点，在两个半平面内做出多条射线）。

师：这样的角多不多？生1：多。

师：这些角相等吗？生1：不一定相等。

师：那到底用哪个角来表示二面角呢？生1：不知道。

老师若有所思：“这个角应该有这样的特点—只要二面角定了，这个角的大小也就定了”，并板书该特点。

师：要满足这个特点，看来对这两边的作法还要加以限制。还加怎样的限制呢？

沉默一会之后，生2：过棱上标出的那点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线试看。老师按照学生2的意见，做出了这两条射线。

师：二面角定了，这个角的大小就定了吗？在不太整齐的“是的”之后，有同学提出：还得把顶点任意换个位置再作个角来比较了才知道。

师：说得好，说得好，说得太好了，下面我们就来解决这个问题。如右图： APl AP//A1PA1PlAPBA1PB1  同理AP//BP1

即这样做出的角与顶定的位置无关，只与两个半平面的相对位置有关，所以可用它来表示二面角的大小，我们把这个角叫二面角的平面角。

师：下面我们来给二面角的平面角下个定义。

找生3回答（不准确老师补充）：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

由此可见二面角的平面角有三要素：（1）角的顶点在棱上；（2）角的两边分别在两个面内；

（3）角的两边都要垂直于二面角的棱。二面角的平面角的范围:[0,180 ]

001800；当两个半平面共面时，具体地当两个半平面重合时，0；当两个半平面相交时，0，1800。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。木工用活动尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个面所成的二面角的平面角。我国发射的第一颗人造地球卫星的倾斜角是68.5，就是说卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是

068.50。

3、应用举例 例1.如图，河堤斜面与水平面所成的二面角为60°, 堤面有一条直道CD,它和堤脚的水平线AB的夹角是30°, 沿条直道从堤脚向上行走到10米时人升高了多少米？ 解：设水平面是，作EG于G，作GF⊥AB于F，连结EF，上这FEAB（三垂线定理）。

答：沿直道行走10m时人升高约4.3m。FG是斜线FE在水平面内的射影，GF⊥AB，∴∠EFG就是河堤斜面与水平面所成的二面角的平面角。∴EGEFsin600CEsin300sin6002.534.3m。

小结：

1、求二面角的平面角的过程和求两条异面所成的角、求直线和平面所成的等角类似，步骤都是：

一找（或作）─—找（或作）出二面角的平面角； 二说─—用定义来说明上面所得角就是二面角的平面角； 三算─—通过解三角形求出二面角的平面角的度数。

2、用三垂线（逆）定理作二面角的平面角的过程是：

一垂面、二垂线、三连线得二面（二面角的平面角）。

如本题：一作EG于G、二作GF⊥AB于F（或作EF⊥AB于F）、三连结EF（作的是EFAB时，三连结EF），得∠EFG就是所求二面角的平面角。

师：除可用三垂线（逆）定理得二面角的平面角以外，还可用另外的方法求二面角的平面角吗？

4、课堂练习

练习1.如图，、、为平面，L,AO,BO,l，指出图中哪个角是二面角的平面角，并说明理由。

学生4起来给出了完满的答。

师：这说明通过作棱的垂面也可以得到二面角的平面角。

其实，二面角的平面角就是棱垂直的平面与两个半平面的交线所成的角。师：最后还要强调的求法得先做下面的练习。

练习2.如图,已知P是二面角AB棱上一点，过P 分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=60，∠

0BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。经过充分酝酿后，学生5：

在PB上取不同于P 的一点O，在 内过O作OC⊥AB交PM 于C，在  内作OD⊥AB 交PN于D，连结CD，可得： ∠COD是二面角AB的平面角。

师：可见最后要强调的是更可以用定义去求二面角的平面角。

5、知识回顾、小结

6、布置作业

7、板书设计

1、二面角的定义、画法和表示法

定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。记法 二面 角－ l－ 。

2、二面角的平面角的概念和求法

定义 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

六、教学反思

（1）现行教材省略了概念的形成过程和方法的发现过程，没有反映出科学认识产生的辩证过程，与学生的认知规律相悖，给学生的学习造成了很大的困难，非常不利于学生创新能力、独立思考能力以及动手能力的培养。

（2）现代认知学认为，揭示知识的形成过程，对学生学习新知识是十分必要的。同时通过 展现知识的发生、发展过程，给学生思考、探索、发现和创新提供了最大的空间，可以使学生在整个教学过程中始终处于积极的思维状态，进而培养他们独立思考和大胆求索的精神，这样才能全面落实本节课的教学目标。