高中数学 2.2.2向量减法及其几何意义教学设计 新人教A版必修1_向量减法教学设计
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§2．2．2 向量减法运算及其几何意义
教学目标 1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．
2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量． 向量的减法运算及其几何意义 对向量减法定义的理解 教学重点 教学难点 教学过程
一、新课导入
思路1．(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究，由此展开新课．
思路2．(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．
数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义?
二、新课导学
【探究1】相反向量
一个质点，先由A点作直线移动到B点，于是得到一个向量→AB，再由B点按相反方向移动到A点又得到一个向量→BA，如此移动的实际效果，等于没有移动，因此，→AB＋→BA＝0，这个等式就建议我们把向量→BA定→的负向量，并记作→→，于是我们有 义为向量ABBA＝－AB新知1：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性质：①－(－a)＝a；
②任一向量与它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互为相反的向量，则有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.练习1：判断下列各命题的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA与──→AA是一对相反向量； 1223n﹣1n
n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai与──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一对相反向量；(3)a＝－a的充要条件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命题.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1与─→A1An长度相等，方向相反，所以命题(1)是真命题.(2)真命题.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA与122
3i﹣1i
1i
ii＋
1i＋1i＋
2n1
i1
1i─→AiA1是一对相反向量，所以命题(2)是真命题.(3)真命题.∵当a≠0时，a≠－a；而当a＝0时，a＝－a，故命题(3)是真命题.(4)真命题.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223
n1
n1【探究2】向量减法
如图，设向量AB＝b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b．
又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我们得到a-b的作图方法．
如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，则BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
新知2：（1）向量减法的定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b),求两个向量差的运算，叫向量的减法．
（2）向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．
说明：①还可以这样定义：两个向量a与b的差，是这样一个向量x，它适合于等式x＋b＝a，并记作x＝a－b,并称a为被减向量，b为减向量，而x称为差向量．
②向量减法可以转化为向量加法，如图b与a－b首尾相接，根据向量加法的三角形法则有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的意义，－→AB＝→BA，就可以把减法转化为加法，在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可．
→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC＝a－b，这一结论在以后应用是非常广泛的．
【探究3】关于向量差的模的不等式
如果我们回忆向量加法的平行四边形法则，那么就可以知道，对于两向量a及b为边作成的平行四边
→＝a＋b，BA→＝a－b，利用图中的三角形OAB，形中，其两条对角线分别为a与b的和及差，如图所示，有OC并注意三角形中两边之差小于第三边，于是当a与b不共线时，有|a－b|>||a|－|b||，与向量和的模的不等式类似．
对于两任意两向量a与b差的长度不大小两向量长度之和，且又不小于两向量长度差的绝对值，即
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 证明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.说明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①当且仅当a、b同向或a、b中至少一个为0时，左边等号成立； ②当且仅当a、b反向或a、b中至少一个为0时，右边等号成立； ③当且仅当a、b中至少一个为0时，左右两边的等号同时成立.上述①、②及③三个结论在有关问题的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如图，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．
分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．
作法：如图3(2)，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d． 变式训练：在ABCD中，下列结论中错误的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如图4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD
D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB吗? 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b，同样，由向量的减法，知DB=AB-AD=a-b． 变式训练
1．已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，则向量OD等于（）A．a+b+c
B．a-b+c C．a+b-c
D．a-b-c 解析：如图5，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故选B．
2．若AC=a+b，DB=a-b．
①当a、b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？
③当a、b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？
解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此问题就可转换为：
①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同例3 化简→AB－→AC＋→BD－→CD．
解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 变式训练：8．如图所示，DCDEAFBCFE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，则|BC|→的取值范围是（）例4 若|AB|A．［3，8］
B．（3，8）
C．［3，13］
D．（3，13）
→、AC→同向时，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，当ABBC|＝8－5＝3；当→AB、→AC反向时，|→BC|＝8＋5＝13；当→AB、→不平行时，3＜|BC|→＜13，总上3≤|→ACBCBC|≤13，故选C．
变式训练：向量a．b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________．答案：20
三、总结提升
1.通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.2.向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.四、课后作业
课本第91页习题2.2A组第4、6、7、8题 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范围．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求证：点O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．证明：如图，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，长度相等，方向相反的向量，∴→OA是与OB以OB、OC为相邻两边作BOCD，则→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三点共线． ∴→OD＝－OA
→＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，设BC交OD于点E，则BE
→＝2|→故AE是△ABC的边BC的中线，且|OA|OE|，∴点O是△ABC的重心．
