线段和角教学设计_用尺规作线段与角教案
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线段、角
本章是学习习近平面几何的起始阶段，俗话说：“几何头，代数尾”，也就是说学习习近平面几何一开始就要高度重视，一定要理解和熟记有关定义、性质、公理等。
一、本章重点、难点和关键：
重点：线段、直线的基本性质；角的概念及分类。
难点：已知线段的和、差、倍、分的画法；角度的有关计算，度、分、秒与度的换算。
关键：运用学过的知识解释现实生活中的实例。
二、知识要点：
1．线段的概念是通过举例使我们认识和了解的，例如书本的边、门的边、直尺的边，人行横道线等都给我们以线段的印象；它有两个端点；如图中的线段可记作线段AB或线段BA，又可记作线段a。
线段公理：两点之间，线段最短。
这条公理在现实生活中有之广泛的应用，例如在修路时，逢山开道，遇水建桥；将弯曲的河道取直等，都是应用了“两点之间，线段最短”的数学原理。
两点间的距离是一个很重要的概念，它是两点之间线段的长度.线段是一种形，长度是一个数，不能说两点之间的距离是连接两点的线段。
2．射线是线段向一个方向无限延长就形成了射线.射线只有一个端点，它可以向一方无限延长.如图中的射线可记作射线OP。不可记作射线PO，端点字母一定要写在前面。
在现实生活中有很多有关射线的例子，如手电筒的光线，眼睛的视线等。
3．直线是线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点，它向两方无限延长。
如图中的直线可记作直线AB或直线BA，又可记作直线ｍ。
直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线或两点确定一条直线。4．数线段、射线、直线的条数：
如图有多少条线段？多少条射线？多少条直线？
在直线QM上，以B为端点的线段有3条（BD、BE、BC），以D为端点的线段有2条（DE、DC)，以E为端点的线段有1条（EC)。
即3+2+1=6（条）；
另加线段AB、AD、AE、AC，共10条线段。
以A、B、D、E、C为端点的射线分别有2、3、2、2、3条。共12条；
直线只有1条。
5．画线段。射线，直线：
如图已知四点A、B、C、D。
①作线段AB、CD；
②作射线CA、BD；
③作直线BC。
6．作线段等于已知线段或已知线段的n倍（n为正整数）。线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。
若点P为线段AB的中点，则
①AP=BP；②AP= AB，BP= AB；③AB=2AP，AB=2BP。
以上五个等式中，若点P在线段AB上，则其中任意一个等式都能表示点P是线段AB的中点。
例：已知线段a
①作线段AB=a；②作线段CD=3a。
注意：图中的BX，点M、N及DX都叫做作图痕迹，要保留，不能擦掉。
7．角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
如图：点O是角的顶点，射线OA、OB是角的边。
8．角的表示方法有三种：
①三个大写字母表示：如∠AOB或∠BOA。
②一个大写字母表示：如∠O（在用一个大写字母表示时，仅有一个角的情况下才可以）。
③阿拉伯数字或小写希腊字母。
例：请说出图中有多少个角（小于平角的角）？
解：以A为顶点的角有3+2+1=6（个）
以B、C为顶点的角各有1个，以D、E为顶点的角各有2个。
即共有12个角。
9．角的分类：按照由小至大排列有锐角、直角、钝角、平角、周角。1周角=2平角=4直角=360°
当∠ß为锐角时，0°
当∠ß为钝角时，90°
10．角的度量工具是量角器，它的常用单位是度、分、秒，分别用符号“°”、“′”、“″”表示。
1°=60′，1′=60″或1′=（）°，1″=（）′。
例如：0.48°等于多少分？123°48′36″等于多少 度？
解：0.48×60′=28.8′
∴0.48°=28.8′
∵36″=36×（）′=0.6′，48.6′=48.6×（）°=0.81°，∴123°48′36″=123.81°。
11．角平分线的概念是：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
如图OC是∠A0B的平分线，可用下列三个式子来表达：
①∠AOC=∠BOC；
②∠AOC= ∠A0B(或∠B0C=
∠AOB)；
③∠AOB=2∠A0C（或∠A0B=2∠BOC）。
三、例题
例1 已知直线m上有n个点A1、A2、A3…An。请数出它共有多少条线段？
分析：以A1为端点的线段有（n-1）条（A1A2、A1A3…A1An），以A2为端点的线段有（n-2）条（不含前面已算过的A1A2），…，以An-1为端点的线段有1条，于是线段总数为（n-1）+（n-2）+…+3+2+1= n（n-1）（条）。
解：1+2+3+…+（n-1）= n（n-1）
即：图中共有 n（n-1）条。例2 请数出图中共有多少个角？
分析：如图，以OA1为边的角有（n-1)个，以O A2为边的角有（n-2)，以OAn-1为边的角有1个。于是角的总数为（n-1)+(n-2)+…+3+2+1=
n（n-1）（个）
解：1+2+3+…+（n-1）= n（n-1）（个）
即：图中共有 n（n-1）个角。
例3 已知线段a、b、c（b>c），求作线段a+3b-2c。
作法（不要求写，要仔细阅读）1．作射线AX；
2．在射线AX上作线段AB=a； 3．在射线BX上作线段BC=3b； 4．在线段CA上作线段CD=2c 即：线段AD就是所求作的线段。
例4 已知A、B、C是直线m上的点，且AB=4，BC=3。M、N分别为AB、BC的中点，求MN的长。
解：当点B在点A、点C之间时，如甲图
∵BM= AB= ×4=2，BN= BC= ×3=1.5
∴MN=BM+BN=2+1.5=3.5
当点C在点A，点B之间时，如图乙。
∵BM= AB= ×4=2 BN= BC= ×3=1.5
∴MN=BM-BN=2-1.5=0.5。
即：MN的长为3.5或 例5 如图所示，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在原长方形内，BC为折痕，再把BD折过去，使BC与BA’重合，BE为折痕，求两折痕BC与BE的夹角。
解：∵∠CBA与∠CBA’重合，∴∠CBA=∠CBA’
同理：∠EBD=∠EBA’。
∵ ∠CBA+∠CBA’+∠EBD+∠EBA’=180°，∴2(∠CBA’+∠EBA’)= 180°。
∴∠CBA’+∠EBA’=90°。
即：∠CBE=∠CBA’+∠EBA’=90°。
四、作业：
1．已知点A，B，C三点共线(也就是A，B，C三点在一条直线上)，且AB=6；BC=4，若点P为AC的中点，则PB=________； 2．请各画一个仅有5条线段和5个角的图形。3．已知线段a，b(a>b)，求作一条线段等于3a-2b。4．请用量角器画出表示下列方向的射线。
①东北方向；
②北偏西60°；
③南偏东50°。
5．点O是直线AB上一点，过点O任作一条射线OC，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC。求∠MON的度数。
6．时钟上3点36分的时候分针与时针的夹角是多少?
参考答案
1．1或5（注意有两解，三点的位置是A，B，C或A，C，B）。2．可画一个五边形等。3．略。4．
5．解：∠MON=∠COM+∠CON = ∠BOC+ ∠AOC =(∠BOC+∠AOC)= ∠AOB = ×180° =90°。
6．分析：分针每走1分钟转动()°=6°，时针转动的速度是分针转动速度的 =，分针走36分钟转动6°×36=216°，而时针转动216°×
所求夹角=216°-90°-18°=108°。
=18°。
解：6°×36-90°-=216°-90°-18° =108° ×6°×36°
即：3点36分的时候分针与时针的夹角为108°。
