教师培训教学设计_教学设计教师培训

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提高复数教学课堂有效性教学设计

赵东霞

一、学生认知水平分析分析：

“负数没有平方根”这句话早已深入每一位初中生内心。初中三年的学习，学生们一直是本着这一原则完成的。可是到了高中二年级，有一天老师会突然在2黑板上写下“i1”。学生初次看到都会感到震惊。难道他们多年来坚信的一条真理就在这一天轻易地被颠覆了？负数1竟然可以开平方了？！

如何帮助学生将数的概念从实数范围过渡到复数范围？完成从负数不能开平方到负数可以开平方的转变？这成为能否顺利进入复数学习的关键。也成为了教师提高课堂有效性的重要抓手。很多教师都是简单的对学生说:“数学家们已经2i规定1，其中i为虚数单位。同学们记住好了。我们现在开始学习一个新的内容——复数。”这样做当然可以完成教学任务，基本也不会影响学生做题或是考试。但是学生对于学习复数的意义总也不明白。为什么要学？学了有什么用？这可能成为绝大多数学生心里永远的疑问。容易为复数的学习设置不必要的障碍。学生是以一种迷茫的状态在学习，学习动力不足，学习效果自然不理想。怎么改变这种现象呢？在此，希望向学生简单的介绍一些数学史可以发挥作用。通过发放一些有关复数发展历史的材料，一是向学生介绍数学家在探索复数时遇到的困难，欲在激发学生的学习自信心。二是帮助学生了解复数的意义，增强学生的学习动力。

二、部分数学史介绍材料（学生预习）：

在欧洲，12世纪之后，多位数学家在讨论二次方程的解时都遇到了0的情形。16世纪意大利数学家卡丹在他的数学著作《大术》中有如下的著名问题：xy10xy40经过化简，得到x210x400，其中10044000，显然方

x515y515程无解。可是卡丹得到两数，就是。代入上述方程组证明结果是正确的。卡丹成为了数学史上第一个使用负数平方根的人。不过卡丹并没有完全理解和接受它们，他称这样的数为“诡辩式的数”。

17世纪法国数学家笛卡尔在《几何学》中给出“虚数”（imaginary number）和“实数”(real number)这两个术语。

英国数学家沃里斯在《代数》一书中，试图说明虚数的实际意义。他说：尽管就代数记号而言，复数表示一个比没有还小的量，是没有意义的。但在物理上它可以表示一个真是的量。

德国数学家高斯在证明代数基本定理时，多次用到了复数。并且高斯成功的用几何表示虚数，将其真正的玄妙置于一片新的光明中。是高斯首先引入了“复数”这一术语，并用i来表示1。不过大数学家高斯仍然认为，分数、负数和实数当时已得到很好的理解。但复数仅仅是为人们所容忍而已。尽管它们有着巨大的价值。

即便是在19世纪，虚数仍未被人们普遍理解和接受，仍然认为复数时某种矛盾与荒谬。甚至在复变函数理论获得发展很久以后，剑桥大学的教授们仍然拒绝接受“令人厌恶的1”。

以上材料在介绍复数发展史的同时又无一例外的告诉学生，复数从产生到被普遍接受和理解并进而成为一种有用的工具经历了漫长的历史发展过程。让学生看到如果在学习复数以及其他数学知识时，遇到困难那都是再正常不过的事情。从复数的发展史我们可以了解复数的学习并不是空穴来风，它是数学发展的必经之路，是数学知识的重要组成部分，是我们迈向更高层次的数学知识的基石。

三、教案设计： 1．教学目标：（1）掌握复数的有关概念，如虚数单位i、虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的代数形式、两复数相等的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系。（3）通过复数相等的学习，培养学生化虚为实的转化思想。

2．教学重点及难点：

（1）重点：复数的概念、复数相等的充要条件及其应用。

（2）难点：虚数单位i的引入，对虚数不能比较大小的认识与理解。

3．教学过程（1）情景引入

问题1：展示两张图片：磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼。同学们，你们能想象到吗？这优美的磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼，是根据空气动力学原理，并借助于复数来分析完成设计的。

设计意图：通过类比引出问题2。

问题2：已知三次方程x3+px+q=0的求根公式是：

2323qqpqqpx33。

24272427易知三次方程x3－7x+6=0有1、2、-3三个实数根，但是用上述求根公式则涉及负数开平方根的运算。那么在实数范围内，负数有平方根吗？若要使负数也有平方根，关键是只要约定哪个负数有平方根呢？

设计意图：通过这一认知冲突激发学生的探索兴趣，并得出只要约定-1的平方根，其它负数的平方根便可迎刃而解。由此引入新课。（2）学习新课

①规定：（1）i21，其中i是一个新数，叫做虚数单位；（2）0i0，i．能与实数进行四则运算，如bibi(bR)，0bibi(bR)等。问题3：-1的平方根是什么？-4的平方根呢？-5的平方根呢？-a（a>0）的平方根呢？

i，2i，5i，ai。

设计意图：强化复数引入的必要性，提高学生求平方根的能力，为“实系数一元二次方程”的学习奠定基础。

问题4：象上述几个数都是含有虚数单位的数，你还能举出一些含有虚数单位的数吗？

1如：0.5i，2i，2i5等。

2问题5：实数能表示出含有虚数单位的数吗？请举例说明。

能，如：0i，330i等。

问题6：上述各数能否统一用一种含有虚数单位的代数式表示吗？

abi(a,bR)

设计意图：通过问题3～６引导学生自主归纳出复数的代数形式，培养自主探究意识与能力。

②复数的概念

一般地，形如abi(a,bR)的数叫做复数，常用一个小写字母z表示，即zabi(a,bR)，其中abi(a,bR)叫做复数的代数形式，实数．．a,b分别叫做复数z的实部与虚部，分别记作Rez和Imz。复数的全体组成的集合叫做复数集，一般用大写字母C表示。

1在上述复数中，如i，2i，5i，ai，0.5i，2i，2i5这

2样的数称之为虚数，如i，2i，5i，ai(a0)的数称为纯虚数。

问题7：复数zabi(a,bR)为虚数、纯虚数和实数的充要条件分别是什么？

复数zabi(a,bR)为虚数的充要条件是b0； 复数zabi(a,bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0； 复数zabi(a,bR)为实数的充要条件是b＝0。③复数的分类

有理数实数(b0) 复数abi(a,bR)无理数（）a0时为纯虚数）虚数(b0④例题选讲 例1 ：指出下列数哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？哪些是复数？它们的实部和虚部分别是什么？

i2,24i,cos5isin5,0,2i3,3ai(aR),ei

巩固练习：练习13.1（1）第2题

例2： m是什么实数时，复数zm2m2(m21)i分别（1）是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数，（４）0。

巩固练习：练习13.1（1）第3、4题 ⑤复数相等

问题8：类比实数相等，可得：

如果两个复数z1abi(a,bR)和z2cdi(c,dR)的实部与虚部分别相等，即ac且bd，那么这两个复数相等，记作abicdi。

例3：已知(2xy)i2(3y)i，其中x,yR，求x，y的值。巩固练习：练习13.1（2）第3、4题 小结：本题体现了化虚为实的转化思想，也是处理复数问题的基本思想与方法。

问题9：两个复数能比较大小吗？

组织学生讨论得出：只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小。

例4：若复数m2m12(m210m24)i大于0，则方程msinxlogm2x的解的个数是。设计意图：加深学生对复数大小的理解和应用，并适当地培养学生的综合运用能力（供学有余力的学生选做）。

（3）巩固练习

练习13.1（1）第1题、（2）第1、2题

（4）课堂小结

①本节课学习了复数的哪些概念？ ②复数zabi的虚部是b吗？ ③两个复数的关系如何？ ④复数相等渗透了什么数学思想？

（5）作业布置

习题13.1A组第3、4、5和B组第2、3、４题。