《等比数列与分形》教学设计黎宁_欧拉公式教案黎宁

《等比数列与分形》教学设计黎宁由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“欧拉公式教案黎宁”。

《等比数列与分形》教学设计

北京市陈经纶中学

黎宁

一、指导思想与理论依据.本节课依据教育部《普通高中数学课程标准(实验)》的基本理念，倡导积极主动、勇于探索的学习方式,以教材为工具，充分利用社会资源——社会大课堂教育基地中国科技馆的“数学之魅”，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展数学学习和研究.在数学课程改革中，几何学科的改革历来是人们关注的焦点.站在时代和整个几何学发展的高度，全方位地审视对几何内容的处理，通过对现代数学新分支——分形几何学的初步知识在高中课程中的安排，改变“见木不见林”的课程模式，使学生能鸟瞰整个几何学世界，把握几何学发展的脉络，开拓几何思维的新空间.是课程设计的理论依据.二、教学背景分析.（一）教学内容分析: 《分形与数列》是依托于人教版普通高中课程标准试验教科书必修（数学5）第二章数列的授课内容，一方面可以让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用价值，体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点.同时，这个教学内容，体现了特殊到一般、函数的思想，是提高学生推理论证能力的良好素材.（二）学生情况分析

本班学生为北京市示范性普通高中高二年级的学生,学生已经学习过数列的概念及其表示法，等差数列与等比数列的概念、通项公式和前n项和的有关知识，具备一定的推理论证能力和运算求解能力.学生兴趣小组在老师的带领下，参观了中国科技馆B馆“数学之魅”场馆，并对各自感兴趣的内容进行了相关知识的查阅与研究.（三）教学方式

教师启发引导与学生自主探究相结合.（四）教学手段 计算机辅助教学.三、教学目标设计.（一）教学目标

1.通过对谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形、谢尔宾斯基地毯以及科赫（koch）曲线中数学模型的分析，掌握从特殊到一般归纳数列的通项公式、由递推关系式推导数列的通项公式以及有关证明推理的方法.2.通过教学，体会从特殊到一般、数形结合、有限与无限以及函数的思想，提高推理论证能力和运算求解能力.3.体会数列在实际生活中的应用价值，提高数学应用的意识.（二）教学重点

数列通项公式的求法是教学的重点

（三）教学难点

由递推关系式推导数列的通项公式以及不等式的证明是教学的难点.四.教学过程与教学资源设计.（一）设置情景，引入课题

欣赏自然界、艺术和生活中神奇而美丽的分形：

罗马花椰菜 分形艺术 海马尾巴

我们参观了中国科技馆B馆“数学之魅”场馆，许多同学都对场馆内的互动栏目“制作自己的分形”产生了强烈的兴趣，有些同学进行了相关知识的查阅与研究，现在我们来重现美丽而神奇的“分形”.（教师展示科技馆展项图片，图1）

（二）探索研究，引申拓展

提出问题1：（人教版必修（数学5）课本第30页，例2.）

图中的三角形为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前四项，请写出这个数列的一个通项公式.图1

解：如上图，这个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前四项都是3的指数幂，指数为序号减1，所以，这个数列的一个通项公式是（1）（2）（3）（4）

an3n1

（展示科技馆展项图片，图2）

提出问题2：（人教版必修（数学5）课本第34页，习题2.1，B组，第1题.）

下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出这个数列的前5项和数列的图2 一个通项公式.解：前5项是1,9,73,585,4681.显然a11，注意到该数列的递推公式是an118an.8n1通项公式为an.7（展示科技馆展项图片，图3）

图3 提出问题3：

如图，将一个边长为1的正三角形每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3），……，记第n个图形的边长为an，周长为bn，求数列{an}、{bn}的通项公式.解：因为a11，an11an 31为公比的等比数列，3n1所以数列{an}是以1为首项，1因此数列{an}的通项公式为an3因为b13，bn1.4bn 34为公比的等比数列，3所以数列{bn}是以3为首项，3

4因此数列{bn}的通项公式为bn33n1.若n，Koch曲线总长度趋于无穷,它成为一条无限长的边界围绕着一个有限的面积的几何对象.【课外思考】

能否确定第n个图形面积的最小上界？并给出证明。解：若第n个图形的面积为An，则An23.证明如下： 52n2b3231因为AnAn1n1anAn134n2an1443334所以AnAn1169……，2n1334An1169n1，334A3A2

169334.169A2A1把上述(n1)个式子相加，得：

2n1n133444334AnA11 1620999923334所以An5209n1，因此An23

5（三）归纳回顾，小结反思

归纳小结是巩固新知不可或缺的环节之一，这个教学环节对培养学生的归纳概括能力、自我获取知识能力、语言表达能力及师生之间的交流是十分重要的．

1.本节课学习了哪些内容？（由数列的递推关系式推导通项公式的一些方法，探究并证明有关的数学结论.）2.在实验、观察、探究的过程中，蕴含着哪些数学思想方法？（运用了数形结合、函数的思想，体会了特殊到一般的过程，锻炼了推理论证、运算求解的能力.）

3.回顾学习、探究、交流的过程，你有什么感受？（.在学习过程中，认识到数学在实际生活中的应用价值，了解到数学的文化与历史.）

五、教学设计特色

本节课的教学设计依托于教材（人教版普通高中课程标准试验教科书数学·必修5第二章数列的2.1数列的概念与简单表示法

（二）），充分挖掘社会资源（中国科技馆“探索与发现·数学之魅），较好的将社会资源与高中数学课程进行了有机的整合.在教学内容方面，将数学的不同分支——分形几何、数列及不等式进行有机整合，让学生感受数学的整体性，体现普遍联系的观点.在教学设计中，我遵循了以学生为主体，问题为载体的理念．重视知识的形成过程，解题的探索过程，情感的体验过程．我在课堂上注重学生的主体参与，充分利用教材提供的探究问题，挖掘其中的数学本质及蕴含的数学思想方法．学生在教师引导下自主探究、合作交流，在活动中发现规律、总结规律．切实体会了数形结合的奇异美，问题拓展的变化美，逻辑思维的严谨美．

六、教学反思

数学与我们的生活密切相关，数学思维在指导我们日常生活的运行.本节课将中国科技馆“探索与发现·数学之魅”的展览项目及互动栏目作为教学情境，依托于高中数学课程中数列与不等式的有关内容，以启发的教学方式，引导学生进行实验、观察、探究与证明，使学生感受数学在人类探索和发现中的巨大作用，体会数学中的乐趣.（一）情景创设新颖，极大地调动了学生的学习兴趣及求知欲

中国科技馆“探索与发现”场馆的展览项目和互动栏目，不以知识的传授为主要目的，而是紧扣“探索”的主题进行展开，设置“探索中的数学”、“生活中的数学”、“思维中的数学”三个分主题.着重体现数学诞生与发展过程中，人类的探索活动和取得的成果，以及人类在探索其它科学领域的过程中数学所起到的重要作用.在轻松愉悦的氛围中，通过生动有趣的互动展项，使学生感受到数学并非枯燥难懂、高不可攀的，它于我们的身边无处不在，帮我们解决着生活中的实际问题，帮助我们以严谨的、逻辑化的方法论去分析解决问题，它是人类思维的重要工具.我们参与北京市“社会大课堂活动”，前期组织学生形成学习兴趣小组，带领学生参观活动基地——中国科技馆“探索与发现·数学之魅”，结合科技馆展览项目，按小组对自己感兴趣的项目进行研究，写出相应的研究报告或数学小论文.在此前提下，以科技馆“探索与发现·数学之魅”展览互动栏目为教学情境，以叙述感兴趣的数学问题为契机，极大地调动了学生的学习兴趣和求知欲.（二）教学思想及方式符合《课程标准》的理念 《课程标准》明确指出“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”.提倡丰富学生的学习方式——自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的方式.数学课程要为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯.我充分利用“社会大课堂”为中小学基础教育提供的有利条件，充分开发和利用社会资源，将数学课程与社会资源进行有机整合，拓展学习资源、丰富学生的学习方式，培养学生提出问题、解决问题的能力，感受数学的应 5 用价值，激发学生研究探索科学的欲望，培养学生学习数学的兴趣.（三）教学中渗透了数学思想方法，重在培养学生的数学能力

通过实验科技馆内互动栏目“制作自己的分形”（谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯以及科赫曲线），观察规律，经历从特殊到一般归纳数列的通项公式的过程，掌握了由递推关系式推导数列的通项公式以及有关推理证明的方法.在实验、观察、探究的过程中，运用了数形结合、函数的思想，在教学过程中，有意识的引导学生体会特殊到一般的过程，锻炼学生推理论证、运算求解的能力.在教学过程中，引导学生认识到数学在实际生活中的应用价值，帮助学生了解数学的文化与历史.