平行线分线段成比例教学设计（精选7篇）_平行线分线段成比例

平行线分线段成比例教学设计（精选7篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“平行线分线段成比例”。

第1篇：平行线分线段成比例三模块教学设计

§9.2平行线分线段成比例

教学目标：

1．掌握平行线分线段成比例定理的推论.2．用推论进行有关计算和证明.教学重点：掌握平行线分线段成比例定理的推论 教学难点：平行线分线段成比例定理的推论.第一模块：自学设计

自学任务：自学教材P.90—92尝试解答下列问题： 问题1：一组等距离的平行线截得直线m所得的线段相等，那么在直线n上所截得的线段有什么关系呢？

归纳结论：一组等距离的平行线在直线m上所截得的mn线段相等，那么在直线n所截得的线段也相等（平行DAl3线等分线段定理）。

BE l2 FCl1

问题2：已知l1∥l2∥l3∥l4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH，那么擦出其中1条如l3后有何结论？ nm l1nAEm l1lAEBF

lBF

l lGCDH lDH

归纳结论：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的。平行线分线段成比例定理：两条线段被一组平行线所截，所得的（简称“平行线分线段成比例”）

问题3：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线

22344段成比例（尝试证明）。如图

自学诊断：如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上ED//BC,AD3,则EC的长是（）已知AE=6,BD4DAE

BC第二模块：训练设计

一、基础训练：如图：DE∥BC，AB=15，AC=7，AD=2，求EC.二、提升训练： 如图，已知直线a∥b∥c,直线m，n与直线a，b，c分别交与点A，C，E，B，D，F，AC=4,CE=6,BD=3，求BF的长。

达标测试

1、如图l1∥l2∥l3根据图形写出成比例线段

ab

DEBAl1l2BEADCmACnBDabEFc

CFl3

2、已知：如图：B求：AE

BDAC∥DE，AB=15，AC=9，BD=4，CE第三模块：教学设计

一、知识备课： 本节主要知识：

二、教学过程：

（一）、导入新课（情境引入）：半分钟

（二）、引导学生根据自学任务开展自学：自学时间10分钟 要求：

独立自学，不会的可以小声问同桌，不得干扰其它人

1、同学们开始自学10分钟

（三）、组织学生进行训练：12分钟

利用10分钟进行训练，完成基础训练，有能力的可以完成变式训练，学生做7分钟进行展示，2分钟点评，本环节共12分钟

（四）课堂总结：1-5分钟

（六）、组织达标测试：8-10分钟

教师要做出达标题答案，学生闭卷做，教师说答案（或出示），交换试卷互批，统计分数及达标率，重点问题矫正

第2篇：平行线分线段成比例证明题

例1：已知：△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E 求证：

ADAEDE ABACBC

例2：已知：△ABC中，E、G、D、F分别是边AB、CB上的一点，且GF∥ED∥AC，EF∥AD BGBD求证： BEBC.例

3、已知：△ABC中，AD为BC边上的中线，过C任作一直线交AD于E，交AB于F。AE2AF求证： EDFB

例4：如图，已知：D为BC的中点，AG∥BC，求证：

例5：已知：△ABC中，AD平分∠BAC，求证：

例6：△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD交AD于E，交AB于M，求证：

EGAF EDFC

ABBD（过C作CE∥AD交BA的延长线于E）.ACDCBDAB DCAM

练习：

1、已知：如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2 BD=3.6，求CD的长。

2、已知：如图，四边形AEDF为菱形，AB=12，BC=10，AC=8，求：BD、DC及AF的长。

3、已知：如图，B在AC上，D在BE上，且AB:BC=2:1，ED:DB=2:1 求AD:DF4、已知，如图，E在BC上，F在AC的延长线上，且AF=BE，ACDEBCDF

求证： 方法1：过E作EG∥AF交AB于G 方法2：过E作EF∥AB交AC于F5、已知：如图，平行四边形 ABCD中，EF∥AD求证：GH∥AB

第3篇：比例线段;黄金分割;平行线分三角形两边成比例

比例线段；黄金分割；平行线分三角形两边成比例

【本讲教育信息】

一.教学内容：

第十九章

相似形

第一节 比例线段

第二节 黄金分割

第三节 平行线分三角形两边成比例

二.教学目标：

1.了解成比例线段的概念，会判断已知线段是否成比例。

2.了解比例的性质，会运用比例的性质进行简单的比例变形。

3.了解黄金分割。

4.掌握平行线截三角形两边成比例定理。

三.教学重点、难点：

平行线截三角形两边成比例定理

四.教学过程：

（一）知识要点：

1.线段的比：

一般地，用同一长度单位（如米或厘米或毫米）去度量线段a,b所得的量数分别为m,n，那么这两条线段的比为a：b=m：n，或

am，其中a叫比的前项，b叫比的后项。bn 注：①用同一长度单位去度量。

②两条线段的比和所选用的长度单位无关。

③两条线段的比总是正数。

2.成比例线段：

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如ac（或a：b=c：d）中，a、b、c、d叫四条线段成比例线段。a、b、c、d叫做bd组成比例的项，线段a、d叫比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。

3.比例的性质：

（1）比例的基本性质：

如果a：b=c：d，那么ad=bc，反之，若ad=bc且bd≠0，那么a：b=c：d。

（2）合比性质：

如果acabcd，那么。bdbdacabcd，那么。bdbd（3）分比性质： 如果

补充：等比性质： 若aceac…ea…，且bd…f0，则。bdfbd…fbACBC，那么称线段AB被点CABACAC15≈AB

24.黄金分割： 若点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，0.618。

注：黄金分割重在实际问题中的应用。

5.平行线截三角形两边成比例定理：

平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。

如图：△ABC中，EF//BC ∴AEAFAEAF，，… BEFCABAC A E B F C

【典型例题】

例1.已知：A、B两地的实际距离AB=5000m，而画在地图上A、B两点距离A＇B＇=5cm，求该地图的比例尺（即图上距离与实际距离的比）。

解：A B5000mc500000mA'B'5cm

A'B'51 AB500000100000∴该地图的比例尺为1：100000

例2.已知：a，求a。：23：5

例3.若解：∵a：2=3：5 ∴5a=6（比例的基本性质）∴a6 5ab，且a4cm，c3cm，求b。bc

解：∵ab ，且a4cm，c3cmbcb212 4bb3b23∵b>0 ∴b23 cm

例4.证明分比性质。

证明：∵ac bdac11 bdabcd bd

例5.证明等比性质。

证明：设ace …kbdf abk，cdk，…，efk ac…ebkdk…fk(bd…f)k kbd…fbd…fbd…fac…ea bd…fb

例6.已知：

例7.已知：

aab5，求。

bb7ab5解：∵

b7abb57 b7a12 b7acabcd（其中abc，）d，求证：。bdabcdac证法一：∵

bdabcdabcd，

bdbd

ab0，cd0ababcdcd

bbddabcd即 abcdac证法二：设k

bd∴a=bk，c=dk ∵a≠b，c≠d ∴k≠1 abbkbb(k1)k1 abbkbb(k1)k1cddkdd(k1)k1 cddkdd(k1)k1abcd abcdace。求：ace。5，且bdf7bdface解：5

bdface 5bdface5 bdf bdf7ace5ace5735

例8.已知：

例9.已知：

xyzxyz ，求?234xxyz解：∵

234xyzx 2342xyz9

x2ADBF。DBFC

例10.已知：如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB，求证：

证明：在△ABC中，∵DE//BC ∵EF//AB ∴

ADAE DBACAEBF∴ ECFC∴ADBF DBFC 小结：本周研究了成比例线段、黄金分割、平行线截三角形两边成比例定理，这些内容都是很好地研究后续课的基础。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1.求下列各式中的x：

（1）x：6=2：5

（3）3：5=x：4

2.已知：

（2）1：x=2：7（4）2：5=3：x a5abab（2）（3），则（1）_________，_________，b3bbab_________。abace

3.已知：2，且ac，则bdf_________。e5bdf

4.已知：

5.已知：ace2ac3e，则_________。bdf3bd3fabca2bc_________。，则123b

6.已知：如图，△ABC中，DE//BC，AD=4，DB=3，AC=10。求AE、EC。

A D E

7.已知：如图，△ABC中，DE//AC，DF//AB，AE=2，BE=3，FC=3。求AF。

B C

A E F B D C

【试题答案】

12712

1.（1）x（2）x

（3）x

52582

2.（1）（2）（3）4 335

3.22

4.3

5.1

6.AE（4）x15 24030，EC（提示：利用平行线截三角形两边成比例定理，有比例式77ADAE，设AE=x）DBEC9

7.AF

第4篇：初二数学平行线分线段成比例定理

初二数学

【教学进度】

几何第二册第五章 §5.2[教学内容]

平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]

一、主要知识点

1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析

1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比

，可以说成“上比下等于上比下” BCEFABDE

，可以说成“上比全等于上比全” ACDFBCEF

，可以说成“下比全等于下比全”等 ACDF

2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论）基本图形

AE3AE3EG

3∴∴又∵

EC4AC7DC7

极 EG=3X，DC=7X（X>0），则

BD2221

4∴ DB=DC7xx DC3333

14x

BD14

∴

EG3x9

∵

例3

分析BC//FE例4 E，DB点评（1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可

例5 如图9，A,B,C,分别在△ABC的三边BC、AC、AB或其延长线上，且AA//BB//CC

111求证： AABBCC

分析所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题，一般情况下，要将其转化为线段比的形式。

CCBCCC证明：∵CC//AA ∴∵CC//BB∴

AABABBCCCCBCACBCAC11 ∴1∴AABBBAABABAABB

点评 例6 EF//CD分析在△例7 BF⊥交BC求证：分析 可延长证明：∴△

① 求证ME=NF

② 当EF向上平移 图（2）各个位置其他条件不变时，①的结论是否成立，请证明你的判断。

[练习与测试参考解答或提示]

1552

1．；2．18cm；3．,；4．9：4；5．9；6．10，18；7．9：1；8．2；9．6

235

10．提示，过D作DH//AC交BG于H点，则得结论。

BCECAGAE

，又AE=EC，BD=AB，即可GDDHBDDH

EFCEBEEG，同理，而EB=CE，CD=AD，

AFADCDCG

11．略证，由∠DCA=∠EBA=600，有CD//BE，则

则

EGEF，所以FG//AB 

CGAF

DEAE

12．略证，由DE//BC，有∠EDB=∠DBC，又∠ABC=∠DBC，所以∠EDB=∠ABD，则BE=DE，

BCAB

所以DEABDEBEAEABBCABABAB

1

13．①由AD//EF//BC，有EMBECFNF

ADABCD

AD，EM=NF6

②仍成立，证明同①。

第5篇：《平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理》教学反思

反思本节课的教学，存在很多的问题，从以下几个方面谈一谈：

一、知识回顾环节

这部分的设计是让学生在要求下独立完成，教师只强调两个问题：

（1）若DE//BC，D是AB的中点，则E是AC的中点，而不能直接得出DE是中位线；

（2）在具体图形中找两个图形A字型和X字型，从而得出比例式。而在巡视各组学生写的情况后，又和学生一起把这两部分知识回顾了一下，既没有收到良好的效果，又浪费了很多的时间，这出是我平时存在的问题，以后就在这方面改进。

二、例题的处理

在数学问题中，做辅助线是学生感到头疼的问题，对有些问题，学生不知从何处入手，做什么样的辅助线，教师应在平时的课堂教学中结合实例给予适当的指点，这也是在这节课中设计例2的初衷，但在例2的处理上，我认为存在以下不足：

一是语言太罗嗦不简炼；

二是在教师点拨后应适时组织学生讨论，通过学习合作得出不同辅助线的做法，也从中体会到各种方法的优劣，为下面小结做平行线的方法打下基础，当时因为感到时间有点紧，再有平时总是侧重培养学生独立思考的能力，没有做到这点；

三是应该由学生最后结合此题小结做平行线的方法同时说明为什么不能过点D做平行线，此时教师也代劳了，尽管在教学中能及时启发、引导学生独立思考，积极探索，但还没有完全做到充分认识学生、理解学生，充分调动学生积极参与。

三、课堂评价

课堂评价不是指教师课堂教学的对错、好坏、优劣的评价，而是指教师对学生课堂学习状况的评价，是教师组织、引导、帮助学生自主学习的重要手段，在我的课堂教学中没有给予足够的重视，应在平时备课时做好充分的准备，什么问题需要什么样的评价，什么时候对什么问题进行评价，怎么样评价，通过评价达到什么样的目的。

总之，新课标的一个重要理念就是把培养学生的主体意识，主体能力及学科素养作为教学过程中始终不渝的追求目标，因此要求教师转变教育观念，提高专业素养，不断发展专业化水平，为学生的终身发展做出最大的贡献。

第6篇：【教案】 相似三角形及平行线分线段成比例

27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例

一、教学目标： 知识目标

理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。能力目标

通过应用，培养识图能力和推理论证能力。情感态度与价值观

（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。

二、重、难点

重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。

三、教学过程

1、复习设疑，引入新课

内容：教师提问：（1）什么是成比例线段？（2）什么是相似多边形？

（3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？

目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。

2、小组活动，探究定理

探究活动一：

内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。

A1A2B1B2,（１）计算

你有什么发现？ A2A3B2B3（２）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？

(图2）

（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？

归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。

效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。

2.议一议： 内容：教师提问： 1.如何理解“对应线段”？

2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？ 3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

A1A2B1B2=若a ∥b∥ c，则

A2A3B2B3。

A1A2BBA2A3B2B3=12=AAB1B3，A1A2B1B2，由比例的性质还可以得到：13A2A3B2B3=A1A3B1B3等。

目的：让学生在探究得出结论的基础上，对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。并掌握定理的符号语言，进一步发展推理能力。

效果：学生从几何直观上很容易找出“对应线段”。利用比例的性质写出成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那就是都体现了“对应”二字。探究活动二：

内容：如图3，直线a ∥b∥ c，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。（如图4），图4中有哪些成比例线段？

（图3）

(图4）

推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。目的：让学生脱离表格，不通过计算，运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论。

效果：学生已经学习过特殊四边形的性质与证明，所以很容易得出A1C2=B1B2，C2C3=B2B3，进而得出推论。而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。

目的：加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，发展学生的应用能力。效果：经过这一环节的变式应用，学生能够归纳出平行线分线段成比例定理及其推论的本质特征。3.探究活动三：

内容:直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且AB=BC则图中还有哪些线段相等？

l4

l6

C

O F

l3

B

N E

l2

A D M l思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？

2.如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2:3? 目的：让学生体会平行线等分线段定理可看作是平行线分线段成比例定理的特例。解决课堂引入时提出的问题。

效果：学生很容易得出此时的对应线段的比值为1，也为后面探究相似与全等的关系做了铺垫。

3、灵活应用

内容：例

1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC,（1）.如果AE = 7, FC = 4，那么AF的长是多少？

（2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5，那么FC的长是多少？

课堂练习： B

C

E

F A

1、如图，已知l1//l2//l3,（1）.在图（1）中AB = 5, BC = 7，EF=4，求DE的长。

（2）.在图（2）中DE = 6, EF = 7，AB=5，求AC的长。

2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且 DE∥BC,（1）.如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？

（2）.如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm，那么EC的长是多少？

目的：通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，规范书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解。

效果：由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，实现理性升华，培养语言表达能力。

4、课堂小结：

内容：本节课你有哪些收获？ 目的：

通过师生反思评价，实理知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过作业和考题全面巩固平行线分线段成比例定理及其推论。效果：

学生都能归纳出：

1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； B D

E

A C（1）

F

C F B E A D

D A

E B

（2）

C

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

5、布置作业：

第7篇：比例线段教学设计

比例线段

【学习内容】

1、比例及其性质。

2、两条线段的比，比例线段。

3、黄金分割。

【重点、难点】

重点：比例及其性质，黄金分割。

难点：比例性质的运用。

【知识讲解】

一、复习与巩固比例有关内容。

1、四个数a，b，c，d成比例定义，比例的项，内、外项的含义。

(1)两个比相等的式子叫比例，记作：b，c，d均不为0)。

(2)“比”——两数相除叫两数的比，记作：(a∶b)，在此a是比的前项，b是比的后项。

(3)中各部分名称

(a∶b＝c∶d)，称作：a，b，c，d成比例(其中a，①a，d叫比例的外项

②b，c叫比例的内项

③d叫做a，b，c的第四比例项(a，b，c顺序不准乱动)

(4)比例中项

若a∶b＝b∶c，则b叫a，c的比例中项。

如：在比例式

2、比例的基本性质

小学学过“比例的外项乘积等内项的乘积”，故

可推出a·d＝b·c。其实我们可以这样去

两边同乘bd得到a·d＝b·c；

中，c是线段3a、m、m的第四比例项。m是线段3a、c的比例中项。

理解，因为a，b，c，d均不为0，用等式性质(去分母法)将反之，将ad＝bc同除以bd可得

“

。因此，我们得到如下的比例基本性质：

”的意义是由左边可推出右边，且由右边也可推出左边，称为等价符号。

b2＝ac这两个式子均表示b是a，c的比例中项。

不同的比例式：

如：

其实，由ad＝bc还可得到另七个与 1、二、线段的比，比例线段

1、线段的比 ：两条线段的比就是两条线段长度的比。

如：(1)若a，b为两条线段，且a＝5cm，b＝10cm。它们的比：a∶b＝5cm∶10cm＝0.5。

(2)若c，d为两条线段，且①c＝5cm，d＝100mm。求c∶d；②c＝0.05m，d＝0.1m，求c∶d。

①d＝100mm＝10cm，故c∶d＝0.5 ②c∶d＝0.05m∶0.1m＝0.5

注意：1)、a，b代表两条线段，a∶b＝k，a是b的k倍；（一般a∶b≠b∶a，只有当k＝1时，a∶b＝b∶a）

2)、求两条线段的比时，必须统一单位；

3)、两条线段的比值与采用的长度单位无关；

4)、两条线段的比总是正数(因为线段长为正数)；

2、比例线段

(1)在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

(2)概念的理解

①必须是四条线段才能成比例，并且有顺序。若若a，b，c，d成比例，则有

②在；若，则叫a，b，c，d成比例；反之，这些是比例的变形。比例变形是否正确只需把比例式化为等积式，看与原式所得的等积式是否相同即可，相同说明正确，反之，比例变形就是错误的。，则叫c，d，a，b成比例。

中，b是c，d，a的第四比例项。中，d是a，b，c的第四比例项，而在③在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项。

在线段a，b，c，x中，若x＝，则x是a，b，c的第四比例项。

由此可见前面所学的比例性质均可用于成比例线段中。

④又如四条线段m＝1cm，n＝3cm，p＝4cm，q＝12cm，可以发现p，q成比例，不能说明m，p，q，n成比例，因为m，p，q，n成比例，则有

3、应用比例的基本性质判断成比例线段

将所给的四条线段长度按大小顺序排列，如：a＞b＞c＞d，若最长(a)和最短(d)两条线段之积ad与另两条线b、c之积bc相等，则说明 线段a，b，c，d 成比例。

三、比例的另外两条重要性质，这说明 m，n。

1、合比性质

如果

因为：

2、等比性质，那么，∴，∴

如果＝……＝(b＋d＋……＋n≠0)，那么

因为：设，则有a＝bk，c＝dk，……，m＝nk

∴

四、黄金分割

1、黄金分割：是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点。

说明：

①一条线段有两个黄金分割点。

②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值。德国著名天文学家开普勒(Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学。

2、黄金分割的求法

①代数求法：

已知：线段AB

求作：线段AB的黄金分割点C。

分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB，设，AB＝，AC＝x，那么 CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)

整理后，得：x2＋x－＝0

根据求根公式，得：x＝

∴(不合题意，舍去)

即 AC＝AB≈0.618AB

则C点可作。

②黄金分割的几何求法（尺规法）：

已知：线段AB

求作：线段AB的黄金分割点C。

作法：如图：

(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB。

(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB。

(3)在AB上截取AC＝AE。

则点C就是所求的黄金分割点。

证明：∵AC＝AE＝AD－AB

而AD＝

∴AC＝

∴C点是线段AB的黄金分割点。

例2：已知，线段a＝cm，b＝4cm，c＝cm，求a，b，c的第四比例项。

解：设a，b，c的第四比例项为xcm，根据比例的定义得：，∴a，b，c的第四比例项为cm。

例3 ：已知，a＝2.4cm，c＝5.4cm，求a和c的比例中项b。

解：依题意得：b2＝ac＝2.4×5.4＝12.96

∴b＝±3.6

∵b为线段

∴b＞0

∴b＝3.6cm。

例4 ：已知，线段a＝1，b＝，c＝，求证：线段b是线段a，c的比例中项。

证明：∵ac＝1×，b2＝

∴b2＝ac

∴线段b是线段a，c的比例中项。

例5 ：若3x＝4y，求。

解：∵3x＝4y

∴

同理，甡合比怇质徖：

∴

∵x＝49

∴も

侊：巒知＄。

①当b＋d（f≠0斶，求的倸。

␡当b－2d＊3f≠0时，求的值。

解：①∕错误!

且b＋d）f≠

∴由等比性质得：

⑁∵

∰

且b－2d＋3f∀

∔错误!??。例7：在相同时创的物高与影长成比例，妀果一古塔在地面上的弱镽为50籓，同斶，高为1.米的测竿的影长为2.5籲，那么古塔的高是多少米？

分析：“圈相同时刺的物骘丆影长成比例” 的含义，昧指用同一时刻两个物体的高与它们的对应影长成比例。

解：设，古塔的高ะx米（核据题意徖：

∴2.5p＝1*5䃗50(比例的基本性质)

∰x－30(米)

答：古塔高丸 30 籣。

例8：如图，AD＝15，AB＝40，AC＝2, 求：AE。

错误!

分析：由条件中给出AD，AB，AC，最她能利用比侊的性质将DB，EC 轨化为题中已知条件AB（AC。

解：∵

∴

∴

即

∴AE＝

＝10.5(cm)。

(合比性质)

例9：已知，线段AB，求作AB的黄金分割点。

解：①可用代数求法，不妨设黄金分割点为C，求出AC≈0.618AB，则点C可作。

②可用几何尺规作图法（见知识讲解中黄金分割的求法）。

③若不限尺规作图，用量角器可作以线段AB为一腰，顶点为∠A＝36°的等腰ΔABC，然后作 ∠ACB的平分线CD交AB于D，则点D就是AB的黄金分割点。

【巩固练习】

1、从下列式子中求x∶y。

①(x ＋ y)∶ y ＝ 8 ∶ 3

②(x－y)∶y＝1∶2

2、已知：

3、已知：

4、已知：如图，BF 的长。，AB＝8cm，AD＝2cm，BC＝7.2cm，E为BC中点。求：EF，x＋y－z＝6。求x，y，z。求：(a＋b＋c)∶b。

5、已知，线段a＝2，且线段a，b的比例中项为

。求：线段b。

6、已知，点P在线段AB上，且AP∶PB＝2∶5。求AB∶PB，AP∶AB。

7、ΔABC和ΔA′B′C′中，的周长。

8、已知，如图。求证：(1)

(2)，且ΔA′B′C′的周长为50cm。求：Δ ABC

【巩固练习答案与提示】

1、①

②2、3、x＝9，y＝12，z＝154、提示：

BF＝3.6＋1.2＝4.8(cm)

5、b＝56、∵ ∴ ∴

∵

∴，7、ΔABC周长为30cm。

8、提示：①

由①，(比例基本性质)