HPM视域下高中微积分教学设计策略研究_高中微积分例题及答案
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HPM视域下高中微积分教学设计策略研究
摘 要：HPM研究——通过数学史融入数学教育的研究——现已成为数学教育研究的一个重要方法。它通过对于数学史的研究，从不同方面对数学教育起借鉴作用。本文从HPM视角入手，得出五条微积分教学设计的策略, 以此对中学教学教师通过历史发生原理进行教学设计提供借鉴作用。
关键词：微积分；HPM；教学设计
Abstract：History and pedagogy of mathematics research, the research of mathematics education through the mathematics history, has now becomes an important method of the mathematics education research.It plays a reference role in the mathematics education.This paper reaches five pieces of strategies in calculus instructional design in HPM view, which provides some reference for teaching design of the middle school teachers.Key words：calculus；HPM；instructional design HPM研究发展
教学设计是以教学目标与教学对象为依据，确定恰当的教学起点与教学点，并对相关教学诸要素进行有序、优化地安排，形成一定的教学方案的过程。教学设计是一门运用系统方法科学地解决教学问题的学问，它将教学效果最优化视为最终目标，以解决教学相关问题。
HPM视域下的数学教学设计，将着力突出数学史融入数学教学的特点，将历史发生原理合理地运用于数学教学当中。而高中微积分内容又以其蕴含着的丰富数学思想和数学历史文化，成为HPM视域下教学设计研究的典型。在此，本研究将结合HPM视域下高中微积分教学的特点，提出针对高中微积分的教学设计策略，力图为高中数学教师在HPM视域下设计微积分教学提供参考与帮助。
1972 年，第二届国际数学教育大会上，数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 简称 HPM）的正式成立，标志着数学史与数学教育的关系作为
第1页（共9页）一个学术研究领域的出现。HPM关注的内容包括：数学与其他学科的关系、数学文化对于学生的作用、数学史与历史发生原理、数学史与学生的认知发展、数学史与学生的困难、数学历史资料对于数学教学中的应用等。HPM主要是通过对于数学史的研究，假其形式，取其精髓，由内及外地贯穿于数学教学之中。
1742年德国数学家海布罗纳的《世界数学史》和1758年法国数学家蒙蒂克拉《数学史》的出版，使得数学史成为一个独立的领域。随着该领域的研究和普及，西方的许多数学家已经意识到了数学史对数学教育的意义。
19世纪英国著名数学家格莱谢尔在一生中都非常重视数学史的研究，其认为：“如果试图将一门学科和它的历史割离开来，那么没有哪门学科会比数学的损失更大”。[1]且在1919年英国某一数学会报告中提出，“每个孩子都应该知晓他所学习的这门学科的更为人文或个性的一面”，建议“数学教室中应该悬挂大数学家的肖像，数学教师应该在课堂上经常提及这些大数学家的生平与数学研究，并对数学发现对人类文明进步的影响作出解释”。1971年英国数学史学会制定了“促进数学史在教育中的作用”的目标。
20世纪意大利著名数学史家洛里亚作为第一位关注HPM的学者，提出了“数学史是连接中学数学和大学数学的纽带”的观点以及数学史在数学与其他学科关系、发生法教学方面的作用。该世纪的很多数学家及数学教育家更是数学史融入数学教育的提倡者，例如国际数学教育委员会前主席，荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为数学史应该是数学教师必备的教学知识。
直到本世纪初我国才开始普遍关注HPM研究。在2005-2011年间我国的四次数学史与数学教育研讨会中，人们已在HPM的实践开发上达成共识，但迄今仍缺乏科学有效的研究方法，有价值研究成果并不多见，HPM研究领域的学术地位还有待提高。[2] 中学微积分教学设计研究
第2页（共9页）辽宁师范大学张妮在《中学微积分课程教学研究》中提出了组织微积分教学应采取的几条策略：①树立将变量视为思维对象的数学教学观，深化变量概念在教学中的作用；②通过直观描述，鼓励中学生进行合情推理与猜想；③ 预防将微积分教学退化为仅仅是记忆或背诵公式定理即可学好的科目；④正确地处理初等数学与微积分之间的关系。[3]另外给出了对于变化率问题、导数概念、导数的几何意义进行了课堂提问的教学设计案例。
湖南师范大学徐妮在《中学微积分的教与学研究》中就如何设计“导数及其应用”这部分的教学设计进行了一定的讨论。该文将学生理解导数概念的认知结构发展分为以下几个层次：①将导数视为“具体实际意义”的导数；②将导数视为“变化率”的导数。除此之外，该研究还对影响教与学的因素进行了先关分析。针对以上调查和分析，对具体内容提出了的教学策略：①突出概念的本质；②防止微积分教学退化成形式；③关注与信息技术的整合；④加强数学思想方法的教学；⑤将数学文化渗透于数学教学；⑥合理处理初等数学同微积分间的关系；⑦对于微积分教学中一般性错误的剖析。[4]
综上所述，已有研究对于中学微积分教学设计提出了一定的策略，但都仅仅属于对于微积分的教学设计研究，并非是在HPM这一视域下进行探讨。这样就忽视了微积分的特点。HPM视域下高中微积分教学设计策略
从HPM视域着手，通过研究微积分的发展史，以及借鉴一般微积分教学的设计策略，本研究得出了HPM视域下高中微积分教学的五条设计策略：四类基本问题导入微积分教学策略，突出数学思想策略，渗透数学文化策略，反馈调节性策略，应用信息技术策略。
3.1 四类基本问题导入微积分教学策略
高中微积分教学导入，可以分为微分的导入与积分的导入。而要从HPM的角
第3页（共9页）度出发对微分与积分的教学导入进行研究，不可避免地，我们首先要先了解一下促使微积分产生的原因。微积分的创立，首先是为了解决17世纪主要的四类科学问题：
第一，速度与加速度问题。这类问题是已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；或者，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求距离与速度。这类问题是在研究运动时出现的，主要困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度都是时刻变化着的。然而计算瞬时速度时，却不能如同计算平均速度那样，用移动的距离与相应的时间做商。因为在给定的瞬间，移动的距离和相应的时间皆为0，而0/0被视为无意义的，然而任意物体在其运动的每一时刻必有速度却又与此矛盾。
第二类问题是求曲线的切线。这类问题的重要性来源于好几个方面；它是纯几何的问题，而且对于科学的应用有巨大的重要性。正如我们知道的那样，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究。透镜的设计直接吸引了Fermat、Descartes、Huygens和Newton。要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线射入透镜的入射角，再利用反射定律求得折射角度。因为法线垂直于切线，所以又将问题转化为求一直法线。研究物体的运动是另一类关于研究曲线切线的问题。运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，是轨迹的切线方向。
第三类问题是求函数的最小值与最大值问题。当时需要解决的一个实际问题是求炮弹的射程，而炮弹从炮筒射出，在火药量一定的情况下，炮弹的水平射击距离是依赖于炮筒对地面的发射角的。17世纪初，伽利略（Galileo Galilei,1564-1642）断言（在真空中）炮弹的最大射程在发射角是45°时达到，而要对其进行具体论证就需要对函数的最大值进行研究。此外，研究行星的运动也涉及最小值与最大值的问题，例如求行星离开太阳的最近与最远距离。
第四类问题是度量问题，包括求曲线的长度（例如，行星在给定时间内移动的距离）、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体（例如行星）作用于另一物体上的引力等。虽然古希腊人曾经利用穷竭法求出
第4页（共9页）了一些特定图形的面积和特定物体的体积，但这些方法也必须添上许多特殊技巧，从而不具有普遍性意义。[5]
通过分析可知，第一类问题（已知路程关于时间的函数，求速度、加速度）、第二类问题（求曲线的切线）、第三类问题（求函数的最值）属于积分类问题；另一部分第一类问题（已知加速度关于时间的函数，求速度、路程）、第四类问题（关于线、面、体等的度量问题）属于微分类问题。
关于微积分在高中阶段的导入问题，必须考虑的即是学生的认知水平。认知水平是个体对外界事物的判断、认知的能力以及个人的经验、知识、思维能力、信息的储量等都有一定关系，是影响人们思想形成的主观因素之一。就HPM的视角而言，当今我国中学生的数学培养，基本是按照西方数学史发展路线展开的，从进入小学就开始学习的算数、欧式几何，到初中阶段开始学习的解析几何，再到高中阶段涉及到分析学初步，他们的知识储备决定了他们现阶段所面对的问题基本上同欧洲17世纪的人们所面对的问题与解决问题的能力基本是相同的，即他们有着类似的认知水平。而要让高中生较好地学习和理解微积分，就必须让他们主动建构微积分，而通过历史发生原理可知，数学史上促使微积分产生的四类问题是最符合高中生认知水平的微积分导入问题。3.2 突出数学思想策略
曾经有研究者对不从事数学专业的人提出“你在学校学到的数学是什么？”不同的人给出了不同的答案，有人说数学是各种公式定理，也有人说数学是各种解题技巧。这个问题当然没有一个标准的答案，但我却为这样一个答案感到满意：数学是当若干年后你忘记了那些公式定理、解题技巧后还记得的东西。那么在我们若干年后忘记各种数学公式定理和解题技巧后，究竟剩下的是什么呢？答案就是：数学思想的方法！
微积分教学所能够体现的数学方法很多，但其中最为重要的是极限思想。微积分的发展在之前的研究内容中谈了很多，此处不再赘述。但由微积分的发展，我们知道对于极限的认识是贯穿整个微积分由萌芽，到创立，到成熟的直接的特
第5页（共9页）点。由初期费马、巴罗、牛顿、莱布尼兹等人对于极限的肤浅认识，致使当贝克莱大主教提出“无穷小量是逝去的量的鬼魂”时，牛顿等人无言以对，到最终柯西、魏尔斯特拉斯等人建立起严谨的语言以刻画极限和无穷小量。高中生们在高中的最后学习阶段接触到微积分初步，是提高他们极限思想的一次完美的训练。除此之外，另一项十分有益于高中生的数学思想便是数形结合思想。在对导数的定义的教学过程中需要讲解从割线到切线的变化，在简单积分的讲解中，需要将曲边梯形面积转换为矩形面积之和，这些过程无不需要学生们将数与形进行结合分析。
既然高中微积分教学对于极限思想、数形结合思想等数学思想要求之高，并且如果处理得当，也能够在教学中对将众多数学思想进行完美体现，那么我们当然有必要在微积分教学中突出数学思想。[6]也只有这样，才能使火热的思考不至于成为冰冷的美丽。3.3 渗透数学文化策略
文化，广义而言，是指人类所创造的物质财富与精神财富的总和；狭义而言，是指社会的意识形态，按照这样的理解，一切由人类所创造的有意义的物质、精神都可以归为文化的范畴。数学作为人类对于外部客观规律归纳总结分析研究所得到的产物，在人类生产、生活、思维及理性精神等方面具有独特的地位和作用，故而被赋予了一种文化的意义。[7]微积分的萌芽、创立、发展及最终的成熟，时间范围从16世纪末横跨至19世纪。由于微积分所引导的分析学是继几何学、代数学后，数学发展的最大重要分支，在当时对于微积分学的研究完全引领了整个主流数学界。因此，在这一大段影响数学发展的时间长河里，我们可以从微积分的发展史中领略到丰富多彩的数学文化。因此，微积分文化有足够的理由进入中学数学教学。
在中学数学中加入数学文化，是一个老生常谈的话题。然而，在将数学文化融入中学教学的过程中，以微积分课程为例，却常常出现这样僵直的情形：在一节课行将结束之际，教师不忘附上一句“对了，有兴趣的同学们可以阅读以下章
第6页（共9页）末的微积分历史阅读材料”。除此之外，还有一种情况就是在开课之前附上两句关于微积分的描述，仅此而已。
《普通高中数学课程标准(实验稿)》中明确提出了“收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值”。[8]微积分文化融入教学，不是这种生硬的插入式融入，而应该是渗透式地融入于教学当中。在一堂微积分教学中渗透微积分文化，需要在课前做足怎样将微积分文化融入教学的功夫。这种功夫包括：自身对于微积分文化的熟悉与深入了解，以及在教学设计中埋下可以渗透微积分文化的“暗雷”。当教学走到微积分文化的“暗雷”处，学生们对于微积分文化的迫切渴望，使得其在不经意间踩中这颗“暗雷”，老师在这个恰当的时候引出适量的微积分文化，学生对于课堂上引出的微积分文化意犹未尽，才可以让其在课后通过各种渠道了解微积分文化。这种在适当的时候进行适量的微积分文化传播，是对于微积分文化渗透于数学教学的极佳方式之一。3.4 反馈调节性策略
在运用HPM视域下的微积分教学设计进行教学时，其初衷都是希望让学生们按照历史上的有利于人们学习理解微积分知识的方法进行思考，避免无效的不利于人们理解微积分的历史发生。然而，按照历史发生原理进行教学设计时，却有另外一种可能产生：由于所处环境的不同，在某些知识的认识过程上，现在的高中生与17世纪的欧洲数学研究者或许是存在差异的。正是由于这个原因的存在，才需要加大教师对于学生按照历史发生原理进行微积分学习的掌控力度。教师必须在深刻感知微积分史的情况下，认真分析课堂上学生对于相应知识的反应，不能一味地跟着历史的节奏翩翩起舞，殊不知学生已经走在了历史的前头，亦或是落后于历史的步伐。
由于按照历史发生原理设计的HPM教学设计对于历史与现实的同步性要求极强。所以教师在教学中，需要就学生对于教学的反应做出及时的反馈性调节，以达到HPM视域下的教学目的。
第7页（共9页）3.5 应用信息技术策略
微积分之所以难，难在一个关键词“极限”上。极限是无穷大、无穷小、无限逼近等微积分关键内容的实质之所在。解析几何的诞生，标志着由常量数学向变量数学的转换，而微积分的诞生，则是由一般有限变化向无限变化的又一次转换。绝大多数学生乃至许多数学研究者认为微积分难以理解，认为极限的难以名状，都是源自于极限的无穷动态性。
信息技术，作为现代计算机科学的产物，其对于教育的帮助在于通过多媒体技术，利用教育软件以及视频资料，对非直观的难以理解的知识进行直接的动态演示以及快捷方便的逻辑梳理。
具体到信息技术对于微积分教学中的无穷变化的难点的理解，通过对于信息技术的使用，以微积分动态软件或微积分演示视频资料，可以使变化的、不易表述的极限形成过程变得直观化、视觉化。对于微积分教学中的各个具体内容，如导数的概念教学中，由平均速度过渡到瞬时速度，由平均变化率过渡到瞬时变化率，通过信息技术就能够很好地将整个变化过程清晰地呈现在学生们的面前而少去了数学教师们费尽心思的表述。实际上，绝大多数数学教师对于“无限”、“无穷逼近”等概念的表述也是不准确或根本无法形容的，毕竟就连牛顿和莱布尼兹对于这些概念都不能通过述说解释清楚。在讲解“由牛顿法求方程的近似解”的过程中，如果人为地对每一个逼近值进行计算，则费时费力。而如果通过计算机软件，则不仅在计算上简单方便，并且通过具体的图像演示，让学生们直观感触到用牛顿法求近似解的可行性与正确性。
信息技术对于微积分教学的适用性极强，可以极大程度地通过动态演示解决无限逼近的极限过程。因此，教学资源设备允许的条件下，在微积分教学中广泛运用信息技术是极佳的选择。
微积分以其在数学发展上的独特地位，以及其高于一般高中数学知识的难度，已成为高中数学课程中的重点与难点。近年来，对于微积分教学的研究也越来越多。本文从HPM视域着手，强调历史发生原理对于数学教学的意义，对高中微积
第8页（共9页）分教学设计提出了5条策略，对于高中教师而言有一定的参考价值。
由于本人能力有限，对于部分策略的提出未必成熟，讨论亦可能有疏忽之处，将会在后继研究中继续精炼，以为高中教师服务。
参考文献：
（略）
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