解题教学中思维灵活性的培养_数学解题培养思维

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解题教学中学生思维灵活性的培养

田

素

芳

亳州二中

解题教学中学生思维灵活性的培养

摘要：在解题的过程中，很多学生首先想到的是套哪个公式，模仿哪道做过的题目求解，不能多思和多问几个为什么，因此在教学中，教师应当突破传统的教学模式和教学方法，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够多角度进行思考，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。“一题多解”“多题一解”“一题多变”是解决上述问题的有效方法。

关键词：一题多解 多题一解 一题多变

在人们的工作、生活中，照章办事易，开拓创新难，难就难在缺乏灵活的思维。所以，思维灵活性的培养显得尤为重要。思维的灵活性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的灵活性主要表现在：(1)思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。(2)思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。(3)思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通。如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？“一题多解” “多题一解” “一题多变”不失为培养思维灵活性的有效方法。

一、加强“一题多解”的训练，培养学生思维过程的灵活性

数学解题教学中，“一题多解”是训练培养学生思维灵活的一种良好手段，通过“一题多解”的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生综合运用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领。一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。

例1：已知A(1,3),B(1,1),C(3,5),求ABC外接圆的方程。

分析：外接圆即ABC的三个顶点都在圆上，可以利用待定系数法设圆的一般方程或标准方程，然后根据条件求待定系数，也可利用两弦的垂直平分线的交点即为圆心解题。

解

法一：设所求圆的一般方程为

x2y2DxEyF0(D2E24F0)

此圆过A,B,C三点，1232DxEyF0,D4,22∴(1)(1)DEF0,解得E4, (3)2523D5EF0,F2,∴圆的方程为x2y24x4y20。

法二：设所求圆的标准方程为(xa)2(xb)2r2，(1a)2(3b)2r2,a2,222 则(1a)(1b)r,解得b2,(3a)2(5b)2r2,r210,∴圆的方程为(x2)2(x2)210。

1法三：AB的中垂线方程为y1(x0)，21BC的中垂线方程为y2(x2)，3联立解得圆心坐标为(2,2)。

设圆的半径为r，则r2(12)2(32)210，∴圆的方程为(x2)2(x2)210。法四：kAB135312，kBC，11312 ∴kABkBC1，∴ABBC, ∴ABC是以A为直角的直角三角形，∴外接圆的圆心为BC的中点，即(2,2)，半径r1BC10，2∴圆的方程为(x2)2(x2)210。

二、强化“多题一解”训练，灵活地掌握解题方法

数学解题教学中，“多题一解”是培养学生思维灵活性的一种手段，使学生集中思维，揭示各方面知识的内在联系和规律，从而加深对各方面知识的理解和应用，使知识融会贯通，有利于灵活地掌握解题方法。

例2：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积和体积是多少？

分析：长方体的八个顶点都在同一球面上，则这个球的直径就是长方体的体对角线(设长方体的棱长分别是a,b,c,它的外接球的半径为R，则2Ra2b2c2。

解：设球的半径为R，则有已知得(2R)2324252’ 故R22552，∴R，∴S球4R250, 22V球4345231252R()。3323注：特别地，当正方体的八个顶点都在同一球面上，则这个球的直径就是正方体的体对角线(设正方体的棱长是a,它的外接球的半径为R，则2R3a2。练习1：在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PAPBPCa，求这个球的表面积和体积。

分析:可将球与正方体联系起来，将球看成是正方体的外接球解题。以PA、PB、PC为相邻三条棱构造正方体。因为P、A、B、C是球面上的四个点，所以球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径。

练习2：已知正四面体PABC的棱长为a,且P、A、B、C是球面上的四个点，求这个球的表面积和体积。

分析：正四面体PABC可以看作是由正方体截去四个三棱锥，正四面体外接球的半径就是正方体外接球的半径。

三、加强“一题多变”训练，培养学生灵活的思维

在解题教学中“一题多变”对培养学生分析问题和解决问题的能力，提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力都是十分有效的。变式训练即变换条件寻求结论的不同之处；变换结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，寻求多题一解；变换问题的思考角度，寻求一题多解„„以变来培养学生灵活的思维。

例3：如图1，求半圆O的内接矩形面积的最大值（圆的半径为1）。DADCCOBAOEB

图1

图2

解：法一：连接OA，设AOB(0

ABsin,BC2OB2cos，于是，矩形ABCD的面积为

SABBC2sincossin2。

当2)，则

4时，Smax1。

法二：设OBx(0x1)，则矩形ABCD的面积为S2x1x

2用二元均值不等式2aba2b2，得S2x1x2x2(1x2)1，当x1x2，即x2时，Smax1。2变式1：如图2，求半圆O的内接等腰梯形ABCD面积的最大值（圆的半径为1）。

解：法一：设OEx(0x1)，作CEAB，垂足为E，则等腰梯形ABCD1(ABCD)CE(1x)1x2 2

用借助四元均值不等式的面积为S11(1x)(1x)(1x)(33x)27S(1x)(1x)(1x)3(33x)33416222

4开方，可得S33。4133时，Smax。24当1x33x，即x法二：设AOD(02)，则等腰梯形ABCD的面积为

S1111sinsinsin(2)sinsin2。2222变形，用四元均值不等式，得S33。4 变式2：求圆O的内接六边形面积的最大值（圆的半径为1）。

分析：由变式1可知圆内接正六边形面积最大，最大为

33。2变式3：如图3，已知圆O的直径AB8cm，弦ADCD2cm，求BC的长。CDAOBCDABO

图3

图4 解：在图3中，连接OC、OD，设CODDOA，在AOD中，OAOD4,AD2，由余弦定理得 cosOAODAD2OAOD222717，于是cos22cos21。

328在ABC中，BOC2,OBOC4，由余弦定理得 BC2OBOC2OBOCcos(2)4242244221749，32BC7(cm)。

变式4：如图4，求半圆O的内接任意四边形ABCD面积的最大值（圆的半径为1）。

解：在图4中，连接OC、OD，设BOC,COD,DOA,显然，则四边形ABCD的面积

S1(sinsinsin)。2由常见不等式sinsinsin3333，得Smax。24在解题教学中，教师应选择典型题目进行精讲精练,探索研究揭示规律,训练解题技巧,以拓展学生思维,达到举一反三的功效,使知识融会贯通。尽可能变化

已知条件，进而从不同角度和用不同知识来解决问题；变换结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，寻求多题一解；变换问题的思考角度，寻求一题多解；„„以变来培养学生灵活的思维。因此,在解题中,应做到三个“一”,即一题多变,多题一解,一题多解。使用从一些基本题出发变换出相关题组,可帮助学生在解题过程中掌握知识间的联系,培养良好的思维习惯,提高解题效率。

参考文献：

„1‟安镇平编著.变式：一个有效的思维修炼方式[J].中学数学教学参考.2008 „2‟李伯春等编.数学教育学[M].安徽：安徽大学出版社.2004