课堂教学中关于数学思想方法的思考_注重数学思想方法教学

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课堂教学中关于数学思想方法的思考

一、对教材的思考

简算是小学数学运算中重要的学习内容，但是我们现在使用的京版教材中，没有安排加法的交换律和结合律。乘法的交换律和结合律只是通过教材中的知识窗进行了介绍。而加法的交换律和结合律以及乘法的交换律、结合律是小学阶段重要的运算定律，是学习简算的重要依据。教材在1-4册有这方面的渗透，我认为还需要总结提升出来。这个想法也是源于我校的校本教研。前年四年级的马红梅老师教学乘法分配律的时候，想把加法交换、结合律、乘法交换、结合律以及减法的性质都复习一下，结果发现孩子这部分知识没学过，于是一通恶补，老师和学生都叫苦不迭。于是我们的校本教研工作室对简算的教学知识进行了梳理，归纳了小学阶段的简算类型、常用方法以及简算依据，明确了每种简算类型出现在哪个年级。

简算方法：凑、分、合、转、变、略、消、估、找基准数、分组等。方法依据：

1、积、商不变规律；

2、加法的交换律、结合律；

3、乘法的交换律、结合律、分配率；

4、减法的性质；

5、除法的性质；

同时针对四年级简算出现的这种情况，校本教研工作室研究决定在三年级补充进去加法和乘法的交换律、结合律以及减法性质。

二、对本节课的思考

加法交换律和乘法交换律对三年级学生来讲比较简单，因为学生在一、二年级也有了大量的感性认识，本节课用语言概括表述及用字母表示加法交换律和乘法交换律并不困难。因此，我把这节课的教学目标确定了三点：

1、使学生理解掌握加法交换律和乘法交换律，并会用字母表示

2、让学生经历观察、概括、猜想、验证的过程，体验学习数学、探索数学规律的方法和策略

3、在探索规律的过程中，渗透归纳猜想法和变与不变的数学思想方法 重点是归纳猜想思想方法的教学。

三、为何把数学思想方法作为教学重点

我国传统的数学教学重视基础知识和基本技能的教学，但数学思想方法是数学的灵魂，却恰恰是我们所忽视的，薄弱的。有人说：“如果将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。”

一位日本数学家说：“学生们在初中或高中所学习的数学知识，在进入社会后，几乎没有机会应用，因而这种作为知识的教学，通常在迈出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”

如今各国都比较重视数学思想方法的教学，美国把数学思想方法作为五条课程标准之一，俄罗斯把数学思想方法做为三条课程标准之一，我国的课程改革也开始重视数学思想方法的教学。

我国的《数学课程标准》呈现出以下八个特点：

1、把“现实数学”作为课程标准的一项内容

2、把“数学化”作为课程标准的一个目标

3、把“再创造”作为数学教育的一条原则

4、把“问题解决”作为数学教学的一种模式

5、把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线，提出基本的数学思想方法有观察法、模型方法、分类法、归纳猜想法、演绎法等。

6、把“数学活动”作为数学课程的一个方面

7、把“合作交流”堪称学生学习的一种方式

8、把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具

应该说，现在我们的数学教学已经开始越来越关注数学思想方法，但在我们的课堂教学中体现还很不够。

四、如何加强数学思想方法教学

（一）什么是数学思想方法：

所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识。

所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，也可以说是解决数学问题的策略。

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。

数学思想和数学方法之间既有区别又有联系。首先，两者都是以一定得数学知识为基础，反过来又促进数学知识的深化和数学能力的转化。其次，两者具有的抽象概略程度不同，表现出互为表里的关系。一方面，数学方法应受到数学思想的指引，是数学思想在数学活动的反映和表现，变现性是外显；另一方面，数学思想是相应数学方法的结晶和升华，表现为内隐。也就是说，数学思想往往带有理论性的特征，而数学方法具有实践性的倾向。他们紧密联系在一起，一般来说，强调指导思想的时候就称数学思想，强调操作过程的时候就说数学方法，人们在数学学习和研究活动中，很难把思想和方法严格区分开，所以常常统称为数学思想方法。同一数学成就，当用它去解决别的问题时就成为数学思想。例如，在解决平行四边形面积计算公式问题时，就用转化的方法，把平行四边形通过剪、拼等转化成学习过的长方形来解决，这时我们就说用“转化方法”，但当评价和讲座转化方法的价值时，我们又发现转化不仅可以用来解决平行四边形的面积建模，三角形、体形、圆面积、圆柱体积等的建模都可以，而且加法可以转化成乘法，两位数乘法可以转化为一位数乘法，小数除法可以转化为整数除法、比可以转化为除法或分数等等，于是，转化方法就具有了思想的价值了，就是转化思想了。很多时候，我们笼统地说数学思想方法。）

（二）如何落实数学思想方法教学

1、把数学思想方法的教学列为教学的一项目标

2、挖掘教材中蕴含的数学思想方法。

有专家对人教版小学数学教材和现代小学数学教材的数学思想方法进行了统计： 人教版小学数学教材数学思想方法频数分布表

数学思想方法频数数学思想方法频数分类方法数学模型方法58数形结合方法23抽象概括方法16归纳猜想方法11完全归纳法50类比法7不完全归纳法23比较法75化归方法27观察法65公式法27 现代小学数学教材数学思想方法频数分布表数学思想方法

频数数学思想方法频数分类方法36数学模型方法79数形结合方法93抽象概括方法58归纳猜想方法67完全归纳法61类比法21不完全归纳法75比较法86化归方法64观察法76公式法79特殊化方法15演绎法11坐标法27 可以看出，小学数学教材中蕴含这丰富的数学思想方法。数学思想方法大体上分为三种类型：（1）宏观性思想方法

包括抽象概括、化归方法、数学模型、数形结合方法、归纳猜想方法等。（2）逻辑思维方法

包括演绎法、分类方法、完全归纳法、不完全归纳法、观察法、类比法等。（3）操作技巧思想方法

包括比较法、公式法、特殊化法、坐标化法等。

从统计结果来看，在小学阶段出现频数最多的思想方法有：数形结合方法、抽象概括、数学模型、化归方法、不完全归纳法、归纳猜想法。因此，我们在教学时要充分挖掘教材中蕴含的数学思想方法，把它作为我们的教学任务之一。

（三）常见的几种数学思想方法

1、数形结合方法：

数形结合方法我们比较熟悉，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。华罗庚有这样一句话：“数无形时少直觉，形少数时难入微”，形象生动地说明了数形结合的必要性。教材当中数形结合的思想方法很多，:(1)以形辅数：比如借助线段图、树形图、集合图来分析理解数量关系，解决实际问题（植树问题），借助线段图来解答应用题是典型的数形结合，再比如我们将植树问题时，画图帮助孩子理解两端都植、一段植一段不植、两端都不植，形象直观；比如在数轴上表示分数、正负数，点与数相对应；比如学习分数的意义、分数基本性质时、分数加减法时借助图形帮助理解；(2)以数助形：如较复杂的平面或空间图形问题，可运用数量关系、公式、法则、计算等手段，使之转化为简单的数量关系来处理。

2、数学模型思想：

数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。小学数学中的数学模型，一般表现为数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等。数学模型具有一般化、典型化和精确化的特点。

比如：探索发现规律就是发现数学模型；九九乘法表的规律、分数表的规律；正反比例；用字母表示数；循环赛问题；搭配问题、分数的初步认识等；

3、化归方法：

把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。

有时我们称为转化方法。匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。”路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。听起来很好笑，但是这正是数学家思维方式的一个特色——变形、转化，华罗庚称之为“退”。把“壶中的水倒掉”，就是把一个新问题化归为旧问题，从而利用旧知知识来解决新问题。例如：平面图形的面积：平行四边形面积、梯形面积、圆周长和圆面积；立体图形体积：圆柱体积；异分母分数的计算；一些应用题等。

4、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。

如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。

5、假设思想方法

假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。比如鸡兔同笼问题。

6、符号化思想方法

用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。比如用字母表示数，表示定律、公式等。

7、极限思想方法：

事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。例如“圆的面积和周长”，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

8、归纳猜想

运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，称为归纳猜想方法。

归纳猜想的思维步骤为：特例——归纳——猜想——验证 本节课我主要渗透的是归纳猜想的思想方法。以加法和乘法的交换律这一知识为载体，通过举例，让学生观察归纳出交换律，继而进行进一步的猜想，再举例验证，得出结论。在这个过程中，除了运用不完全归纳法，还渗透了一种反例反驳的方法，通过反例证明猜想错误，让学生明白，猜想通过验证，有时候是正确的，有时候是错误的。

之所以最后归纳总结出归纳猜想法，也是遵循了一个“化隐为显”的原则。因为数学思想方法是隐含在数学知识背后的，如果不是有意识地、有目的地把数学思想方法作为教学内容，那么学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时应该以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能达到教学之目的。当然，数学思想方法的教学也不能一蹴而就，要循序渐进。