《高中数学平面解析几何教学研讨》学习小结_高中数学平面解析几何

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《高中数学平面解析几何教学研讨》学习小结

一、对“解析几何”数学知识的深层次理解

（一）感悟解析几何的学科特点

解析几何学科的特点是运用代数的方法来研究几何图形的性质.具体的说：过去研究两条直线是否平行，我们通常是使用平行线的判定定理：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行.在解析几何中，判断两条直线的位置关系，则是依据两条直线的斜率，当两条直线的斜率存在时，依据斜率与截距就可以判断两条直线是否平行；再例如，过去判断直线与圆是否相切，依据切线的判定定理；现在则可以通过联立直线与圆的方程，通过解方程组，得出方程组的解得个数确定直线和圆的位置关系.平面直角坐标系不仅能够使平面上的点与有序数对建立一一对应的关系，还可以将曲线与方程之间建立一一对应的关系，这种关系可以进一步将图形的几何性质和一些数量之间的关系建立起一种对应的、必然的、因果的关系.（二）“解析几何”知识结构

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是高中数学的经典内容．其实质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想．高中解析几何的学习大致分成三个阶段：学生在高一阶段的必修2中学习“平面解析几何初步”，进入高二年级，在选修1-1或2-1中学习“圆锥曲线与方程”．理科还要学习选修 4-4“坐标系与参数方程”，高三阶段，我们还对这些构成解析几何的经典内容进行系统的梳理和复习．可以看出，对解析几何的学习不是一步到位的，体现了循序渐进的原则，符合认知规律的螺旋上升．那么，贯穿解析几何的教学的主线在每个学段如何体现？如何让学生从接触解析几何的第一天起，就感受到其内容的核心与精华，了解这段内容的学习方法和研究方法？通过学习《高中数学解析几何教学研讨》这门课程后，我学到很多理论，并结合平日的教学实际，对以上的几个问题我有了更深层次的想法。

二、“解析几何初步”的教学策略以及学生学习中常见的错误与问题的分析与解决策略

（一）重视曲线与方程的教学

曲线与方程的概念是解析几何学科的理论基础.这部分内容在教材中的位置是发生过变化的.课标之前的教材基本上是将这部分内容安排在直线的方程之后.学生对曲线与方程的概念有了初步的直观的认识之后再提出理论上的要求.新的课程标准是将这部分移到选修 2列.这样的做法目的有两个，首先是让学生增加了直观感受，在正式学习概念之前，有大量的实例作铺垫.在学习了直线和圆的方程之后，才接触曲线方程的概念.这样学生在理论上认识曲线与方程的概念之前就已经有两种曲线的感性的认识.认识的基础比以前更加雄厚了.第二个目的就是改变了文、理科学生相同的要求的现象.课程标准之前的教学大纲对文科、理科的学生在这方面的要求是相同的.现在文科学生的选修 1-1 中删去了曲线与方程的内容，一方面不影响文科学生对圆锥曲线的研究，另一方面体现了文科、理科学生在数学学习上要求的差异.对于理科学生从理论上尽可能的完善，而对文科学生的要求则侧重在具体的曲线特性的研究.曲线与方程的概念一共两句话，曲线上每一个点的坐标都适合方程；以方程的任一组解为坐标的点都在曲线上.在学习曲线与方程的概念的时候，教师一般都会注意纯粹性与完备性，会从各个不同的角度设计例题，来巩固落实概念.然而在结合具体的曲线学习的时候，教师对曲线与方程的概念的强调会有不同程度的削弱.（二）体会用代数的方法研究几何图形的过程

前面已经提到教师可以适当增加平面几何问题的解析法证明.有一些教师因为工作需要一直在高中任教，缺乏对整个中学教材的全面了解.在对教材的把握上很难做到得心应手，翻转自如的境地.特别是数学的许多内容，初中、高中的教学内容有千丝万缕的联系，把握不好，教学中教师就陷入被动的地步.例如：初中阶段学生已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数的知识，对于上述函数的图像已经比较熟悉，如果我们在高中讲解直线方程的几种形式时，把学生的认知基础当成零来处理教材，显然是不恰当的.如果我们适量的引入一些几何证明的问题，学生会觉得亲切，与以往的知识建立了联系.如果题目选的恰当，恰当的标准是所选的题目使用传统的、学生熟悉的演绎推理的方法很难解决，但是使用解析法很简单，想要做到这一点，需要教师研究初中的教材，积累相应的资料，才能在教学中得心应手.三、通过课例来谈谈不同学段对解析几何思想方法的探究实践

我们重温了课标对解析几何的教学要求，在此基础上讨论了教材体系和教学内容与过去大纲版的变化。如教材的分层设计，这种处理方式体现了循序渐进的原则，关注学生初高中的衔接．我们认真揣摩各学段的教学要求，在此基础上，以解析几何的思想方法为主线，以课例为载体，增加一线教师操作的可行性和实效性，对各学段解析几何的教学内容、要求、教法进行具体、深入的探索研究．把理性的思考和具体的课例结合起来，开展了此次校本教研活动．三个年级的研究课题是的课题分别为：高一：直线与圆的位置关系；高二：直线与圆锥曲线；高 三：解析几何专题研究

设计例说：

课例1：直线与圆的位置关系 研究教材：

“平面解析几何初步”的重点是帮助学生初步体会解析几何的思想历程：将几何问题代数化——处理代数问题——分析代数结果的几何含义——解决几何题．在平面直角坐标系中，点、直线和圆都有了代数形式，我们就可以用代数的方法来研究几何问题了．这与初中阶段我们直接借助几何图形来研究其形状、大小、位置关系不同．实际上我们是在用代数方法研究平面几何问题．另一方面，用代数方法研究问题也不是全新的、没见过的，初中已经将点和有序实数对建立了一一对应关系，只是没有系统地接触解析几何的思想方法罢了．在这里体现了初高中在知识上的的衔接．

教法学法分析：

在本章的前半部分，学生已经学习了直线与圆的方程，知道在直角坐标系中，直线和圆可以用方程表示，（从形到数）．通过方程，我们研究了直线间的位置关系，点到直线的距离等，（用数研究形）．这些处理问题的方法的共性是都需要把几何问题代数化，先用方程表示直线和圆，然后再通过代数运算解决有关问题.结合对例题的讲解分析，我们突出用坐标方法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.对解析几何的思想方法有了初步体验．这是我们继续研究直线与圆的位置关系的基础．

作为承上启下的部分，这也是后面学习圆锥曲线的基础．由于学习内容由低到高有递进关系，我们希望前一层级的学习对后一层级有积极影响，即学生遇到新问题时，能在已有知识的基础上展开探究，找到新旧的联系，主动解决后面问题．

主要教学环节：

1、对解析几何的研究对象、研究方法的回顾：

让学生初步体验解析几何的研究方法，为以后学习圆锥曲线奠定基础．

2、设置情境、问题新知：

（1）在初中，怎样判断直线和圆的位置关系？

这个问题是与初中知识的衔接，回忆平面几何中如何判定直线与圆的位置关系的．

（2）通过直线和圆的方程怎样判断它们的位置关系？

让学生认识到我们是用代数方法研究几何问题．有利于保持学生知识结构的连续性，同时开拓视野，激发学生的学习兴趣．也让学生体验研究位置关系的方法的多样性．平面直角坐标系成为沟通平面几何、解析几何的纽带，对同一个问题可以从不同的角度去认识.我们总结出两种判断方法：

从几何角度，圆心到直线的距离与半径的大小关系刻画直线与圆位置关系；这样把几何位置关系转化为距离的代数计算．

从方程观点．利用直线与圆的方程组是否有解研究曲线间的位置关系． 本质上说，两种方法都是用坐标法解决问题．

我们认为两种方法无所谓优劣，强调在掌握共性（方程的方法）的基础上注意个性（圆心距与半径的关系）．前者更好地挖掘了圆特有的几何特征，简化了代数运算，比联立方程组的方法快捷．可以看出用解析法解几何题时，对几何对象的几何特征的不同挖掘，转化的代数形式不尽相同，带来的解法是互异的，这在学生的后续学习中体现得更明显．联立方程组的解法有着很好的认知基础和可持续发展性．学生可以根据求两条直线交点问题的经验，想到判断直线与圆的交点个数也可以通过研究方程组的解来解决．把形的问题（求直线和圆的交点）转化为方程组的实数解的问题（数的问题）．充分体现了解析几何中利用代数方法解决几何问题的思想方法．这个解法又成为后续研究直线与圆锥曲线位置关系的“通法”．

所以这里的讲授突出了两点：几何要素（确定直线和圆的几何要素、确定直线与圆位置关系的几何要素）以及在几何要素引导下的代数变形，最终要回到几何上，体现对几何问题的研究．例题围绕这两点设计：

3、例题研究： 例1．（1）直线：（2）直线：（3）直线：围

对于（3），分析优解：直线与圆恒有公共点圆上或圆内．突出对图形的认识．

本题的设计意图是让学生熟知直线和圆中参数的几何意义体会参数对求法的影响．强调画图．不是纯代数的推导．

我们还可以引导学生思考：围绕直线和圆，还会产生哪些新问题（如求切线、弦长等）如何解决等．

课例2：直线与圆锥曲线的位置关系 研究教材：

我们继续采用高一学段研究直线与圆所用的坐标法，通过方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系．直线和圆的位置关系作为直线和圆锥曲线的位置关系中的一种，在必修学段已经做了比较系统的研究，其研究方法、研究思路、研究内容等可以类比、借鉴，用来处理直线与其他圆锥曲线的位置关系．

椭圆作为三种圆锥曲线的重要代表，直线与椭圆的位置关系更是解析几何的经典内容．由于它的几何性质比圆更复杂，所以直线与椭圆的位置关系比直线与圆的位置关系更难把握．

鉴于高三阶段我们还要对这部分知识做系统的复习和提炼，所以这节课肩负着承上启下的任务．

研究学生：

在学习了平面解析几何初步的基础上，学生已经掌握了直线和圆的几何要素和它们的代数表示．掌握了确定这些基本图形位置关系的几何要素，以及如何运用代数的方法讨论这些图形之间的位置关系，学生积累了一定的用坐标法研究几何图形的经验．

直线经过的定点（0，1）在和和

和C：C：

C：，判断直线与圆的位置关系． 的位置关系（）恒有公共点，求m的范在本模块中，学生完成了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、基本性质的学习，再次体验了几何要素代数化的过程．体会了几何直观带来的好处．

主要教学环节：

1、回顾复习，唤醒回忆：

（1）在必修2中我们研究了直线与圆的哪几种位置关系？如何判断直线与圆的位置关系呢？

前一学段的学习是后一学段的基础，前面的知识会在后续学习中得到巩固、拓展和深化．学生的学习就是在这种多次反复、螺旋上升中完成的．

（2）用解析几何的方法研究问题的思路是什么？

一节数学课应该体现知识的核心内容，包括思想方法的渗透，也是数学作为一种理性文化的核心所在．上述流程图是解析几何最核心的部分，理应沉淀下来并在后续的学习中体现认识的螺旋上升．

2、例题选讲与练习：

我们拟从直线与封闭曲线（圆、椭圆）、直线与非封闭曲线（抛物线、双曲线）两方面探索直线与圆锥曲线的位置关系．

例

1、已知直线：位置关系．，椭圆：，试判断直线和椭圆的意图1：体会几何特征是怎样转化成代数形式的；

意图2：通过实例总结判断直线与圆锥曲线交点个数的方法： 直线与圆锥曲线交点个数

直线与圆锥曲线组成的方程组解的个数．最终转化为一元二次方程的根的个数问题．

练习：已知直线，椭圆的长；（1）试判断直线和椭圆的位置关系；（2）若相交，求弦分析：（1）点（0，-2）在椭圆上．与高一的课例1中，处理圆的相关问题类似．说明直线与圆锥曲线的位置关系还可以利用数形结合、以形助数的方法来解决．体现衔接．

（2）方法1：求出交点坐标，用两点间距离公式求弦长 方法2：设对交点设而不求，简化运算．

回顾处理圆中弦长问题的方法：由于椭圆没有圆的完美对称性，故在圆中利用半径、半弦、边心距组成的直角三角形求弦长的方法失效了．但弦长公式也适用于求与圆有关的弦长．，推导弦长公式，弦长

=，例2：已知直线中点为，椭圆，相交于A、B两点，若弦的，求中点P的轨迹方程．

思考1：如果是直线与双曲线或抛物线，位置关系如何判断？ 思考2：对例2的进一步研究．如，直线和椭圆的方程不变，继续提问:（2）若（3）若弦为坐标原点，且的中点为，且，求直线的方程；，求直线的方程.（4）当k=1时，问椭圆上是否存在一点，它到直线的距离的最小？最小距离是多少？

设计意图：再次体会如何用代数方法研究几何问题．以点带面，解决多种相关问题．

课例3：直线与圆锥曲线复习 背景分析：

高三的复习是在高

一、高二学习基础上的再认识．本节课的教学设计应从整体、系统的高度把握知识，注重知识之间的联系，建构自己的认知结构．我们可以以专题研究的方式避免复习在低思维层次上重复：

专题1：几何对象如何代数化

分析体验对几何特征的不同角度的挖掘，转化成的代数问题不同，解决问题的难易程度也不同．2010年北京高考题就是很好的示范． 专题2：化解代数运算的常见思路

思想方法的学习是一个“渐悟”的过程，经过前两个学段润物细无声的渗透，力求高三阶段有所“顿悟”．以专题的形式突破难点，彻底解决学生“听得懂、想不到”、见到解析几何题就联立方程组，算到最后无疾而终的问题．让学生在实践中体会解一道解析几何题，如何在前面的流程图的指引下，不仅知道该做什么，更知道怎样做！效果立竿见影。

总之，解析几何是高中数学的重点内容，对它的研究时，我们应该关注学生的学习起点和生长点，强调教学资源的整合和教学目标层级要求的落实，这样才能使学生真正掌握好此块内容。