华南理工大学高等数学教学课件7_华工网教高等数学

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第三节

函数的极限

一、自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 ：设函数fx当x大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的0（任意小）总存在正数X，当xX时，一定有

fxA

那么常数A称为函数fx当x时的极限，记为limxfxAfxAx。

6x51例1 ：证明 1）limxx6 ； 2）limxax10a1 证明：1）对于任给的（任意小）0，6x555x6xx 取X5，当xX时有

6x5x6 所以lim6x5xx6。（如图6）注 1：直线y6称为函数y6x5x的水平渐近线。2）对于任给的（任意小）0，111要使ax1，即1ax1aloga1axaloga1

当0a1时，指数函数是递减的，所以

loga11xloga1 令Mmax1,1loglog，则当Mxx0时有

a1a1，或loga111loga1 xM当xMx0时有

loga111loga1 Mx即当xM时总有

loga11x1loga1 xa1

1xa10a1。所以limx注2:x有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相同。我们来考虑函数fxarctanx（如图7）。因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。

注 3：当x0时，且x无限增大。即x。则定义中的xX改为xXfxA。，极限记为xlim当x0时，且x无限增大。即x。则定义中的xX改为xX，fxA。极限记为xlim例2：证明：xlimsinx0 x证明：对于任给的（任意小）0，sinxsinx10 xxx取X，当xX时有

sinx0 x1所以xlimsinx0。x

二、自变量趋于有限值时函数的极限

1）、函数极限的定义

定义 ：设函数fx在点x0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数（任意小），总存在正数，使得对于适合不等式0xx0的一切x，对应的函数值fx都满足不等式

fxA

fxA，或那么常数A就叫做函数fx当xx0的极限。记为xlimx0fxA,xx0。

x212例3 ：证明 lim。x12x2x13证明：对于任给的（任意小）0，x1x12x12x11x1 x2122x2x132x1x132x1332x16x3令x1，则有1xx1x

x21211x1x1x1 26x32xx136x3取min,，当0x1时有

13131323x212 22xx13x212所以lim。x12x2x132例4：证明lim1x21x0。

xx0证明：对于任给的（任意小）0，1x1x2202x2x01x1x220xx01x20xx0

令xx01，则有xx0xx01x1x0

21x21x0xx01x20xx012x01x20xx0

21x0取min1,，当0xx0时有

12x021x21x0

2所以lim1x21x0。

xx0cosxcosx0。例5：证明xlimx0证明：证明：对于任给的（任意小）0，cosxcosx02sinxx0xx0xx0sin2sinxx0（注解）222取，当0xx0时有

cosxcosx0

cosxcosx0。所以xlimx0注4：函数极限的几何意义（如图9）。前面我们考虑的自变量趋于有限值时函数的极限是同时考虑从左右两边趋近于这个有限数。有时我们也选考虑从一边趋近于这个有限数，即所谓单侧极限。如函数2x1fx2x3x0x0当x0时，此函数从左右两边越来越接近的数是不一样的。（如图10）

注5：当x从右边趋近于x0时，即xx0,xx0，我们记作xx0，只需把上面定义中的0xx0（去心邻域）改为x0xx0（右

fxA或fxA,xx0改为limfxA或半邻域）；把xlimx0xx0； fxA,xx0 当x从左边趋近于x0时，即xx0,xx0，我们记作xx0，只需把上面定义中的0xx0（去心邻域）改为x0xx0（左半邻fxA或fxA,xx0改为limfxA或域）；把xlimx0xx0。fxA,xx0例6：证明：limx2x24x4x424

证明：对于任给的（任意小）0，x24x4x424x24x2（注意x2）

取，当2x2时有

x24x4x424

所以limx2x24x4x424。

2）、函数极限的性质

性质1 ：（唯一性）如果数A,B是函数fx当xx0时的极限，则一定有AB。

证明 ：假设AB。无妨设AB，取所以存在正数1，当xx01时有

fxAAB 2ABfxA。因为xlimx02fxB，因此存在正数2，当xx02时有 又因为xlimx0fxBAB 2取max1,2，当xx0时有

ABfxBfxAfxBfxAAB

这是一个矛盾，从而证明AB成立。

fxA，则存在正数,M，当性质2 ：（局部有界性）如果xlimx00xx0时，一定有fxM。

fxA，取1，则存在正数，当0xx0证明 ：因为xlimx0时有

fxA1

即有

fxAfxA1fx1A

取

M1A

则得所证结论。

fxA而且A0（或A0）那么就性质3：（局部保号性）如果xlimx0存在着点x0的某一去心邻域当x在该邻域内时就有fx0（或。fx0）证明 ：如果A0，我们取存在正数当0xx0时有

fxAA 2AfxA，所以一定，因为xlimx02即有fxAAA0。22性质4：如果在x0的某个去心邻域内有fx0（或fx0）,而且xx0limfxA，那么A0（或A0）。证明 ：设当0xx0时有fx0。用反证法，假设这时有A0，根据性质A0。▍ 3，存在的一个去心邻域有，这与当时有矛盾。所以作业：1题1、4小题、2题1、2小题、5题、7题。

思考题：你认为用极限的定义去证明极限的存在，最难处理的是哪个步骤？处理这个步骤你有何经验？