概率论与数理统计课件(第5章)_概率论与数理统计几章

概率论与数理统计课件(第5章)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“概率论与数理统计几章”。

第5章 大数定律与中心极限定理

5.1 切比雪夫不等式

定理5.1 设随机变量X的数学期望E(X)，方差D(X)2，则对任意常数0，有

2

P(X)2

成立.这一不等式称为切比雪夫不等式.证明 只就连续型随机变量的情况来证明.设随机变量X的概率密度为f(x)，则有

P(X)xf(x)dx1xx22f(x)dx

2

2(x)f(x)dx2.2切比雪夫不等式也可以写成如下形式：

2P(X)12

利用切比雪夫不等式可以证明关于方差的另一个性质： 性质 D(X)0的充要条件是P(XE(X))1.§5.2 大数定律

例如，测量一长度为a的物件，以X1，X2，，Xn分别表示n次

1n重复测量的结果，当n充分大时，它们的算术平均值XnXi对ani11n的偏差会比较小，而且n越大，这种偏差越小，即XnXi随着nni1的增加而逐渐稳定于a.这些稳定性现象，从直观上可解释为在大量的随机现象中，个别随机现象所引起的偏差常常会相互抵消，相互补偿而被平均化，从而致使大量随机现象的共同作用的总的平均结果趋于稳定.大数定律在描述这类现象的过程中，是以研究某些概率接近于1(或0)的事件规律的方式进行的.由此引出了在概率意义下收敛性的概念.1n定义5.1 设X1，X2，，Xn，是随机变量序列，令YnXi，ni1n1.如果存在常数列a1,a2,，对于任意的0，有

nlimP(Ynan)1，成立，则称随机变量序列Xn服从大数定律.其等价形式是对任意0，有

nlimP(Ynan)0，直观意义是：当n时，事件(Ynan)的概率趋近于1.或者说，对于任意0，当n充分大时，不等式|Ynan|几乎总是成立的.关于大量随机现象的平均结果稳定性的定律统称为大数定律.定理5.2(切比雪夫大数定律)设X1，X2，，Xi，是一列两两不相关的随机变量序列，且设它们的方差一致有界，即存在常数C0，使得

D(Xi)C，i1,2,

则对任意的0，有

1n1nlimP(|XiE(Xi)|)1.nni1ni1

证明 由切比雪夫不等式，有

1n1nP(|XiE(Xi)|)ni1ni11nD(Xi)ni1D(Xi)ni122n2D(Xi1ni)n22

ncn22cn20,n.所以

1n1nlimP(|XiE(Xi)|)0 nni1ni1从而

1n1nlimP(|XiE(Xi)|)1.nni1ni1切比雪夫大数定律的一个特例.定理5.3(伯努利大数定律)设n是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0p1)，则对任意的0，有

limP(|nnnp|)1.伯努利大数定律提供了通过实验确定事件概率的方法的理论依据.由伯努利大数定律可以看到，实质上我们是讨论了形如

Xi1niE(Xi)i1nn的随机变量的统计规律性，其中Xn是独立同分布于(0-1)分布的随机变量序列.而且，伯努利大数定律从理论上给出了论断“频率稳定于概率”的解释.以上给出的大数定律是以切比雪夫不等式为基础的，所以要求随机变量具有方差，但是进一步研究表明，方差

存在这个条件并不是必要的，下面介绍独立同分布情形的辛钦大数定律.定理5.4(辛钦大数定律)设X1，X2，，Xn，是一列独立同分布的随机变量序列，且数学期望存在并记为E(Xi)a,i1,2,, 则对任意的0，有

nlimP(Xna)1

成立.伯努利大数定律表明了当n很大时，事件发生的频率会“靠近”概率，而这里的辛钦大数定律表明：当n很大时，随机变量在n次

1n观察中的算术平均值Xi会“靠近”它的期望值，这就为寻找随

ni1机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.例如，要估计某地区小麦的平均亩产量，往往只要计算一部分有代表性的地块的平均亩

1n产量，这个平均亩产量就是Xi，在n比较大的情形下它可以作

ni1为全地区平均亩产量，即亩产量的期望值a的近似.5.3 中心极限定理

如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大，则这种量(随机变量的和)一般都服从或近似服从正态分布.定理5.5（林德贝格-勒维定理）设X1，X2，，Xn，是一列独立同分布的随机变量，且E(Xi),D(Xi)2,i1,2,, 存在.记XXi,则对任意实数x，有

i1n

limP(nXnnx)e21xx22dx(x).这是一个很好的结果，该定理只假设独立同分布及方差存在，不管原来的分布是什么，极限分布同样都是正态分布.一方面从理论上说明了正态分布的重要性，初步说明了为什么在实际应用中会经常遇到正态分布.另一方面，提供了计算独立同分布随机变量和的分布的近似方法，这在应用上十分有效.只要和式中加项的个数充分大，就可以不必要关心每一个随机变量原来服从什么分布，都可以利用正态分布来逼近，因此，只须借助正态分布表，就可以进行近似计算.定理5.6（棣莫佛-拉普拉斯定理）

设n是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0p1)，则对任意实数x，有

nnpPx limnnp(1p)21xex22dx(x).棣莫佛-拉普拉斯定理最初就是以正态分布逼近二项分布的形式为人们认识的，它是概率论中最早建立的重要结论之一.一般说来，在np较小的情况下用泊松分布近似比较有效，np较大时要用正态分布作近似计算.例5.1设有一批树种，其中良种占，现从中任取5000粒，试求该5000粒树种中良种数介于940粒与1000粒之间的概率.解 在大批树种中任取5000粒，每次取1粒，可以近似看成5000次独立重复试验.又因为该5000粒树种中的良种数X就是5000次独立重复试验取得良种这个事件实现的次数，则 X~B(5000,0.2).由中心极限定理知

P(940X1060)(106050000.294050000.2)()

50000.20.850000.20.8=(2.12)(2.12)2(2.12)10.96695%.由此可知，有非常大的把握断定，在所取的5000粒树种中含有940～1060粒良种.如果良种数不在这个范围内，就有理由认为这批树种中良种所占的比例并不是.例5.2 在一个由若干个相互独立的电子元件组成电子系统中，在运行期间，每个电子元件损坏的概率为0.1，(1)假设电子系统是由100个电子元件组成，至少有85个以上电子元件工作，系统才能正常运行，求系统的可靠性（即系统正常运行的概率）；

(2)假设电子系统是由n个电子元件组成，要求至少有80%个以上电子元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多少时才能保证系统的可靠性为95%.解（1）设随机变量 Xk100151,第k个电子元件工作正常0,第k个电子元件损坏,0.9)，则XXk为系统正常运行时完好的电子元件数，X~B(100k1由中心极限定理

知

p(X85)1p(X85)1p(5353X1000.9851000.9)1000.10.91000.10.9 1()()0.952.(2)n应满足p(X0.8n)0.95，而 p(X0.8n)p(X0.9n0.8n0.9n)

n0.10.9n0.10.9 1(从而 p(X0.8n)(nn)()，33nn)0.95，反查表得1.65，n24.5，取n=25.33