第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件_数学八上第十五章课件

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第十五章

含参变量的积分

教学目的与要求掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。

教学重点应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。

教学难点应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

§1 含参变量的常义积分

教学目的掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.教学过程含参变量的常义积分的定义（P373）含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374

Theore1 m若函数f(x,y)在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续 , 则函数I(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上连续.cdTheorem2 若函数f(x,y)在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续, 函数y1(x)和y2(x)在[ a , b ]上连续 , 则函数G(x)

例 1 求下列极限(1)limy2(x)y1(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上连续.y011xydx(2)lim2211x1(1)nnn0dx

2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.2.3 积分号下求导定理P375—376

Theore 3 m若函数f(x,y)及其偏导数fx都在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续, 则函数I(x)dcf(x,y)dy在[ a , b ]上可导 , 且

dddf(x,y)dyfx(x,y)dy.ccdx

(即积分和求导次序可换).Theorem4设函数f(x,y)及其偏导数fx都在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续, 函数y1(x)和y2(x)定义在[ a , b ], 值域在[ c , d ]上, 且可微 , 则含参积分

G(x)y2(x)y1(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上可微 , 且

G(x)1y2(x)y1(x)(x)fx,y1(x)y1(x).fx(x,y)dyfx,y2(x)y2x

2例2

求下列函数的导数(1)F(y)(lnx02y)dx(y0)(2)F(y)ex12xy2dx

例3 计算积分 Iln(1x)01x2dx.例 4 设函数f(x)在点x0的某邻域内连续.验证当|x|充分小时 , 函数

x (x)(xt)n1f(t)dt (n1)!0(n)的n1阶导数存在 , 且 2.4(P376定理15.1.4)例4 求F(y)(x)f(x).sinyxayxdx的导数 by例5 研究函数 F(y)yf(x)其中f(x)是[0,1]上连续且为正的函数。 0x2y2dx 的连续性，1解

令g(x,y)yf(x)，则g(x,y)在[0,1][c,d]连续，其中0[c,d]。从而F(y)在22xyy0连续。当y0时，F(0)0

当y0时，记 mminf(x)0，则

x[0,1]F(y) 1yf(x)y1dxmdx marctan 0x2y2 0x2y2y 1若limF(y)存在，则

limF(y)limmarctany0y0y01y2m0F(0)

故F(y)在y0不连续。

或用定积分中值定理，当y0时，[0,1]，使

F(y) 1yf(x)ydxf() 0x2y2 0x2y2dx 11xf()arctany若limF(y)存在，则

y001f()arctan

y

limF(y)limf()arctany0y01y2m0

故F(y)在y0不连续。

问题1 上面最后一个式子能否写为

limf()arctany01f()0。y2事实上，是依赖于y的，极限的存在性还难以确定。例6 设f(x)在[a,b]连续，求证x

y(x)f(t)sink(xt)dt

（其中 a,c[a,b]）

k c满足微分方程

ykyf(x)。证

令g(x,t)f(t)sink(xt)，则 2gx(x,t)kf(t)cosk(xt)，gxx(x,t)k2f(t)sink(xt)

它们都在[a,b][a,b]上连续，则

y(x) x cf(t)cosk(xt)dt

y(x)k x x cf(t)sink(xt)dtf(x)

xyk2yk cf(t)sink(xt)dtf(x)k cf(t)sink(xt)dtf(x)例7

设f(x)为连续函数，hh

F(x)[f(x)d]d

00求F(x)。

解

令xu，则

hhhxhF(x)[f(x)d]dd000xf(u)du

hhF(x)[f(xh)df(x)d]

00在第一项中令xhu，在第二项中令xu，则

x2hxhF(x)[xhf(u)duf(u)du]

xF(x)[f(x2h)2f(xh)f(x)]

问题2 是否有

 F(x)[f(x)d]d[f(x)d]d

x0x000例8

利用积分号下求导法求积分

/2hhhhI(a)解

令 f(x,a)0arctan(atanx)dx，|a|1

tanxarctan(atanx)

tanxx0x0,2时，f无定义，但limf(x,a)a，limf(x,a)0，故补充定义

x2

f(0,a)a，f(2,a)0

则f在[0,2][b,b]连续（0b1），从而I(a)在(1,1)连续。1, x(0,), |a|11a2tan2x2fa(x,a)

0, x0， |a|12显然fa(x,0)在x故有

/22点不连续，但fa(x,a)分别在[0,2](1,0)和[0,2](0,1)连续，/2

I(a)令tanxt 0fa(x,a)dx01dx，a(1,0)或a(0,1)221atanx11I(a)dt2222(1t)(1at)1a01 1a21a2t2a2t2a2dt 222(1t)(1at)01a2[]dt，222(1at)2(1|a|)0(1t)a(1,0)或a(0,1)

积分之

I(a)2ln(1a)C1，a(0,1)

I(a)2ln1(a)C2，a(1,0)

因为I(a)在(1,1)连续，故

I(0)limI(a)0limI(a)

a0a0得C1C20，从而得

I(a)2sgnaln(1|a|)，|a|1

作业：P378----3792、3、5、6、8（2）（3）、11

§2 含参变量的反常积分

教学目的理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 3 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；

教学过程含参变量的反常积分的一致收敛

含参变量的反常积分有两种: 无穷区间上的含参变量的反常积分和无界函数的含参变量的反常积分.定义P379---381 无穷积分af(x,y)dx在区间[c,d]: 一致收敛: 0,A00,AA0,y[c,d]有

Af(x,y)dx;

A0非一致收敛: 00,A0,A0A,y0[c,d]有2 一致收敛性的判别法 2.1(Cauchy收敛原理)P381 2.2(Weierstra判别法)P382 例1 证明:无穷积分

f(x,y)dx0.1cosxydx在R一致收敛.x2y22.3(Abel判别法和Dirichlet判别法)P382----385 2.4(Dini定理)P385 3 一致收敛积分的分析性质 3.1 连续性定理

3.2 积分次序交换定理 3.3 积分号下求导定理

例 2 利用积分号下求导求积分

In(a)dx，（n为正整数，a0）2n1(xa)0解

因为

11，aa00

(x2a)n1(x2a0)n17 dx而 2收敛，故 In(a)n1(xa)00dx 在aa00一致收敛。2n1(xa)0因为

dx1xarctan |20aa2a0xad故

dadx2xa0dx13/2 ()a22(xa)220d2da2dxdx135/22 ()()a2232220xa0(xa)由数学归纳法易证

dndandxdxn(1)n!22n1xa(xa)00(2n1)！(1)an22n2n12

dx(2n1)！a于是

In(a)2n12(2n)！(xa)02n12

例3 证明（1）e1yx2sinydx关于y[0,)一致收敛；

（2）e1yx2sinydy关于x[0,)不一致收敛。

证

（1）用分段处理的方法。A1，y0，令yxt 得

2|eAyx2sinydx||sinyyeyAt2dt||sinyy|etdt

0siny2|y|

因为 limy0sinyy0，则 0，0，当0y时，有 |eyxsinydx|A2siny2|y|

（1）

又

|eyx2siny|ex，y

22而 e1x2dx收敛，由M判别法，eyxsinydx在y[,)一致收敛，即0，1A01，AA0，有

|eyxsinydx|，y

（2）

A2上式对y0显然成立，结合（1）（2）式，有

yx

2|eAsinydx|，y[0,)

即e1yx2sinydx关于y[0,)一致收敛。

（2）因为x0时，sinydy发散，因此e11)yx2sinydy关于x[0,)不可能一致收敛。

例4 计算积分

a2x2e0(x2a2x2dx。

a(x)2x解 e0(x2)dxe0a(x)22axdxe2ae0dx

令 x2at xtedte0a(x)2xa(12)dxxe0a(x)2xdxe0a(x)2xda x

在第二项积分中令  ay，得 x9 e0a(x)2xadx(ya)2ye0dy

故

e(x2a2x2)dxe2aea(x)2xdxe2a

0

作业：P392—393 202、4（1）（2）、5、8、10、12、15 §3 Euler积分

教学目的掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 2 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。

教学过程Beta函数(第一类Euler积分)

1.1 定义

确定定义域 1.2 Beta函数的性质 P394 2 Gamma函数(第二类Euler积分)2.1 定义

(确定定义域)2.2 Gamma函数的性质 P395 3 Beta函数和Gamma函数的关系 P397 例1 求0xp1dx(p0,q0)； pq(1x)例2 证明：

11()241m1mxn（2）xedx()(n0,m1)

0nn（1）exdx4

作业： P404—405

1（1）（3）（7）（8）、3、7、9、10