数学教师资格证说课稿_小学数学教师说课稿

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函数的最大值和最小值(第1课时)

数学学院 2007级数学与应用数学 蔡帆

人教版全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修Ⅱ)

今天我要进行说课的课题是《函数的最大值和最小值》．首先，我对本课题进行简单分析．

一、本节教材的地位与作用

本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．

二、教学目标

1、知识和技能目标

⑴、理解函数的最值与极值的区别和联系．

⑵、进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值． ⑶、掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．

2、过程和方法目标

(1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值．

(2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处．

(3)会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值．

3、情感和价值目标

(1)认识事物之间的的区别和联系．

(2)培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．

(3)提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．

三、教学的重、难点

1、教学重点

会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值．

2、教学难点

高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法．本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．

四、教法选择

根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用．

本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．

五、学法指导

对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．

六、教学过程

1、创设情境，铺垫导入

⑴、问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．

如图，有一长80cm，宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折 成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个 全等的小正方形，按加工要求，长方体的高不小于10cm且不大于 20cm．设长方体的高为xcm，体积为Vcm3．问x为多大时，V最大？ 并求这个最大值．

解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是

(80－2x)cm，(60－2x)cm，(10≤x≤20)．

所以体积V与高x有以下函数关系 V=(80－2x)(60－2x)x =4(40－x)(30－x)x． ⑵、引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．

2、合作学习，探究新知识 ⑴、我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 问题1：如果是在开区间(a，b)上情况如何？ 问题2：如果[a，b]上不连续一定还成立吗？)x,x(1,2).f(xx(0≤x

f(x)=

0(⑵、如图为连续函数f(x)的图象：

在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？

归纳：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

例1 求函数y= x4－2 x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．

解： y′=4 x3－4x，令y′=0，有4 x3－4x=0，解得： x=－1，0，1思考：求函数f(x)在[a，b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤可以改为：

①求f(x)在(a，b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；

②将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

解法2： y′=4 x3－4x

令y′=0，有4x3－4x=0，解得： x=－1，0，1． x=－1时，y=4，x=0时，y=5，x=1时，y=4．

又 x=－2时，y=13，x=2时，y=13．

∴所求最大值是13，最小值是4． 课堂练习：

求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：

(1)y=x－x3，x∈[0，2](2)y=x3＋x2－x，x∈[－2，1]

3、指导应用、辅助创新

例2如图，有一长80cm，宽60cm 的矩形不锈钢薄板，用此薄板折 成一个长方体无盖容器，要分别 过矩形四个顶点处各挖去一个 全等的小正方形，按加工要求，长方体的高不小于10cm不大于 20cm，设长方体的高为xcm，体积 为Vcm3．问x为多大时，V最大？ 并求这个最大值．

分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．

4、归纳小结，反馈回授

⑴、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在 [a，b]上必有最大值与最小值； ⑵、求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤；

⑶、利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定． 作业布置：P1391、2、3七、结束

我的说课完毕，谢谢！

说课教师：蔡帆