鲁教版九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系单元测试（版）_九级数学圆心角

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第二章直角三角形的边角关系单元测试

一.单选题（共10题；共30分）

1.sin45°的值等于()

A.B.C.D.2.如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（）

A.msin40° B.mcos40° C.mtan40° D.3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA的值是（）

A.B.C.如图放置，则

D.4.正方形网格中，的值为（）

A.B.C.D.2 5.用计算器验证，下列等式中正确的是（）

A.sin18°24′+sin35°26′=sin54° B.sin65°54′-sin35°54′=sin30° C.2sin15°30′=sin31° D.sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′ 6.四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长 250m，200m，（平直的）分别为300m，200m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度正确说法（）

A.A的最高 B.B的最高 C.C的最高 D.D的最高

7.（2015•巴彦淖尔）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）

A.20海里 B.40海里 C.20海里 D.40海里

8.若cosα=，则锐角α的大致范围是（）

A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.0°＜α＜90°

9.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）

A.msin35° B.mcos35° C.D.10.（2014•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）

A.1，2，3 B.1，1，C.1，1，D.1，2，二.填空题（共8题；共24分）11.如图，当太阳光与地面成55°角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m，则玲玲的身高约为________ m．（精确到0.01m）（参考数据：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）.12.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度是________ 米．（结果保留根号）

13.如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α=________ 度．

14.小虎同学在计算a+2cos60°时，因为粗心把“+”看成“﹣”，结果得2006，那么计算a+2cos60°的正确结果应为________

15.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________ 米．

16.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是________

17.（2016•荆州）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为________米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．

18.cos240°+cos2α=1，则锐角α=________度．

三.解答题（共6题；共42分）19.（2015•泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．

20.如图，某人在一栋高层建筑顶部C处测得山坡坡脚A处的俯角为60°，又测得山坡上一棵小树树干与坡面交界P处的俯角为45°，已知OA=50米，山坡坡度为12（即tan∠PAB=12，其中PB⊥AB），且O、A、B在同一条直线上.（1）求此高层建筑的高度OC.(结果保留根号形式.)；

（2）求坡脚A处到小树树干与坡面交界P处的坡面距离AP的长度.(人的高度及测量仪器高度忽略不计，结果保留3个有效数字.)

21.已知，如图Rt△ABC中，AB=8，BC=6，求sin∠A和tan∠A．

22.如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边选择点A．测得∠B=45°，∠C=60°，BC=30米．求这条河的宽度（这里指点A到直线BC的距离）．（结果精确到1米，参考数据2≈1.4，3≈1.7）

23.如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD=80°，（AB‖ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）

24.小明想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠ BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．（结果保留三位有效数字，参考数据： 2 ≈1.414； 3 ≈1.732.）

答案解析

一.单选题

1.【答案】B

【考点】特殊角的三角函数值

【解析】

【分析】根据

即可求解．

【解答】故选：B． ．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

2.【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】∵cos40°=，∴BC=AB•cos40°=mcos40°． 故选B．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3.【答案】B

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可． 【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，∴cosA=故选B． =．

【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

4.【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题． 如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．

=

故选A.【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．5.【答案】D

【考点】计算器—三角函数

【解析】【解答】利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验 ．sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′ ．

故选D.【分析】本题考查三角函数的加减法运算 ．

6.【答案】B

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【解答】A.的高度为：300×sin30°=150（米）．

B.的高度为：250×sin45°=125 ≈176.75（米）．

C.的高度为：200×sin45°=100 ≈141.4（米）．

D.的高度为：200×sin60°=100 ≈173.2（米）．

所以B的最高 ．

正确的是

故选：B.【分析】利用所给角的正弦值求出每个滑板的高度，比较即可 ．

7.【答案】C

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【解答】根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=40海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=∴sin60°=，=20（海里）．，∴CD=40×sin60°=40×故选：C．

【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可解答．

8.【答案】C

【考点】锐角三角函数的增减性

【解析】【解答】解：∵cos30°=∴cos45°＜cosα＜cos60°，∴锐角α的范围是：45°＜α＜60°． 故选C．

【分析】理解几个特殊角的度数以及余弦值，根据余弦函数随角度的增大而减小即可作出判断．

9.【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：sin∠A= ∴BC=msin35°，∵AB=m，∠A=35°，cos45°=，cos60°=，且＜＜，故选：A．

【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．

10.【答案】D

【考点】解直角三角形

22【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；

B、∵1+1=（2），是等腰直角三角形，故选项错误； C、底边上的高是 =，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；

D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确． 故选：D．

【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；

D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．

二.填空题

11.【答案】1.79

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】玲玲的身高=影长×tan55°=1.25×1.428≈1.79（m）。故答案为：1.79。

【分析】本题考查了解直角三角形的应用、正切的概念、计算器的使用。

12.【答案】53

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：∵∠CBD=60°，∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∵∠A=30°，∴∠A=∠ACB，∵AB=10，∴BC=AB=10，在R△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10× 32=53 ． 故答案为53 ．

【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．

13.【答案】70

【考点】特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：∵tanα=cot20°，∴∠α+20°=90°，即∠α=90°﹣20°=70°． 故答案为70．

【分析】根据一个角的正切值等于它的余角的余切值即可求解．

14.【答案】2008

【考点】计算器—三角函数

【解析】【解答】解：∵a﹣2cos60°=2006，∴a=2007．

∴a+2cos60°=2007+1=2008． 故答案为：2008．

【分析】根据错误的运算先确定a的值，然后求出正确的结果．

15.【答案】50

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：∵坡比为1：2.4，∴BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，则AB=AC2+BC2= x2+2.4x2=2.6x，∵AB=130米，∴x=50，则BC=x=50（米）． 故答案为：50．

【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理求出AB，然后根据题意可知AB=130米，求出x的值，继而可求得BC的值．

16.【答案】2114

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，过C作CD⊥BA，交BA延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=60°，在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AC=2，∴AD=12AC=1，根据勾股定理得：CD= AC2-AD2=3，在Rt△BCD中，CD=3，BD=BA+AD=4+1=5，根据勾股定理得：BC= CD2+BD2=28，则sinB= CDBC=328=2114． 故答案为：2114 ．

【分析】根据题意画出图形，如图所示，作CD垂直于BA，交BA延长线于点D，在直角三角形ACD中，利用邻补角定义求出∠CAD=60°，进而确定出∠ACD=30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长，由AD+DB求出DB的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，利用锐角三角函数定义即可求出sinB的值．

17.【答案】58

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC，∵∠ECB=18°48′，∴∠EBC=78°12′，则tan78°12′= ECBE = EC10 =4.8，解得：EC=48（m），∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）． 故答案为：58．

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键．

18.【答案】50

【考点】互余两角三角函数的关系

22【解析】【解答】解：∵cos40°+cosα=1，∴α=90°﹣40°=50°．

【分析】根据锐角三角函数的概念，知：互为余角的两个角的余弦平方和等于1．

三.解答题

19.【答案】解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．

在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，∴tan∠PAC=CPAP，∴CP=AP•tan∠PAC=33x．

在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，∴BP=AP=x． ∵PC+BP=BC=30×12，∴33x+x=15，解得x=153-32，∴PB=x=153-32，∴航行时间：153-32÷30=3-34（小时）．

答：该渔船从B处开始航行3-34小时，离观测点A的距离最近．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×12，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．

20.【答案】解：（1）∵∠OCA=300，∠COA=900，OA=50 ∴OC=503（2）作PD⊥CO 设PB=x,则AB=2x,OB=DP=50+2x,CD=503-x 00∵∠PCO=4

5，∠CDP=90，∴CD=DP 50+2x=503-x, x=

AP=5·503-13=5015-53≈27.3

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【分析】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

21.【答案】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=AB2+BC2=10，sin∠A=BCAC=610=35；

tan∠A=BCAB=68=34．

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．

22.【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示： 在Rt△ACD中，∵∠C=60°，∴tanC=ADCD=3，∴CD=33AD，在Rt△ABD中，∵∠B=45°，∴tan∠B=ADBD=1，∴AD=BD，∵BC=BD+CD=30米，∴AD+33AD=30米，解得：AD=15（3﹣3）≈19．

答：河的宽度约为19米．

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】作AD⊥BC与D，由三角函数得出CD=33AD，AD=BD，由已知条件得出关于AD的方程，解方程即可．

23.【答案】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．

∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=∠FCD﹣∠ACD=∠CGD+∠CDE﹣∠ACD=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h=0.42+0.74=1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．

24.【答案】试题解析：过点 A作AM⊥EF，过点B作BN⊥EF，垂足分别为点M、N

在Rt ΔACM中，∠ACF=45°，AM=60米 则CM=60米 ∵ CD=100米 ∴ MD=40米

在Rt ΔBDN中，∠BDF=60°，BN=60米 则DN= 603=203 米 ∵ AB //EF ∴∠ BAM= ∠ AMB= ∠ BNM=90 °∴四边形AMNB为矩形 ∴ AB=MN=40+ 203 米

∴ AB ≈74.6米

【考点】解直角三角形

【解析】【分析】试题分析：过点，然后通过解直角三角形求解即可.