高中必修一数学知识点总结(2)

(1)任取x1，x2∈D，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商

(3)变形(通常是因式分解和配方);

(4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

(2)奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;

○2确定f(-x)与f(x)的关系;

○3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

10、函数的解析表达式

(1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

11.函数最大(小)值

○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

○2 利用图象求函数的最大(小)值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

第三章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *.

负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作 。

当 是奇数时， ，当 是偶数时，

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3.实数指数幂的运算性质

(1) • ;

(2) ;

(3) .

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a>1 0

定义域 R 定义域 R

值域y>0 值域y>0

在R上单调递增 在R上单调递减

非奇非偶函数 非奇非偶函数

函数图象都过定点(0，1) 函数图象都过定点(0，1)

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

(1)在[a，b]上， 值域是 或 ;

(2)若 ，则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;

(3)对于指数函数 ，总有 ;

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念：

一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： ( — 底数， — 真数， — 对数式)

说明：○1 注意底数的限制 ，且 ;

○2 ;

○3 注意对数的书写格式.

两个重要对数：

○1 常用对数：以10为底的对数 ;

○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 .

指数式与对数式的互化

幂值 真数

= N = b

底数

指数 对数

(二)对数的运算性质

如果 ，且 ， ， ，那么：

○1 • + ;

○2 - ;

○3 .

注意：换底公式： ( ，且 ; ，且 ; ).

利用换底公式推导下面的结论：(1) ;(2) .

(3)、重要的公式 ①、负数与零没有对数; ②、 ， ③、对数恒等式

(二)对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是(0，+∞).

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

○2 对数函数对底数的限制： ，且 .

2、对数函数的性质：

a>1 0

定义域x>0 定义域x>0

值域为R 值域为R

在R上递增 在R上递减

函数图象都过定点(1，0) 函数图象都过定点(1，0)

(三)幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义并且图象都过点(1，1);

(2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数.特别地，当 时，幂函数的图象下凸;当 时，幂函数的图象上凸;

(3) 时，幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.

第四章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。

即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.

3、函数零点的求法：

○1 (代数法)求方程 的实数根;

○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数 .

(1)△>0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点.

(2)△=0，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△<0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点.

5.函数的模型