初中尺规作图典型例题归纳总结_分析初中尺规作图题

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初中尺规作图典型例题归纳

典型例题一

例

已知线段a、b，画一条线段，使其等于a2b． 分析

所要画的线段等于a2b，实质上就是abb．

画法：1．画线段ABa．2．在AB的延长线上截取BC2b．线段AC就是所画的线段．

说明

1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．

2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．

典型例题二

例

如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．

错解

如图（1），（1）作射线AM；（2）在射线AM上截取AB=BC=a，CD=b，则线段AD即为所求． 错解分析

主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．

图（1）

图（2）

正解

如图（2），（1）作射线AM；（2）在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；（3）在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．

典型例题三

例

求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．

图（1）

图（2）错解

如图（2），（1）作射线O1M1；（2）在图（1），以O为圆心作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以O1为圆心作弧，交O1M1于C；（4）以C为圆心作弧，交于点D；（5）作射线O1D．

则∠CO1D即为所求的角．

错解分析

作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．

正解

如图（2），（1）作射线O1M1；（2）在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以O1为圆心，OA的长为半径作弧，交O1M1于点C；

（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线O1D． 则∠CO1D就是所要求作的角．

典型例题四

例

如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．

分析

先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B=∠C=∠α，底边BC=a，故可以先作∠B=∠α，或先作底边BC=a．

作法

如下图

（1）∠MBN=∠α；（2）在射线BM上截取BC=a；（3）以C为顶点作∠PCB=∠α，射线CP交BN于点A．△ABC就是所要求作的等腰三角形．

说明

画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．

典型例题五

例

如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）． 分析

根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．

作法

如图（2）．

图（1）

图（2）（1）过点C作直线EF，交AB于点F；

（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．

说明

作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．

典型例题六

例

如下图，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=36，∠C=44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．

分析

本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．

解

与△ABC全等的三角形如下图所示．

典型例题七

例

正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．

（2003年，桂林）

分析

这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．

作法

如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．

典型例题八

例

已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC． 错解

如图（1）

作法

（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于

1DE的长为半径作弧，两弧相交于C点； 2（3）连结OC，则OC就是∠AOB的平分线． 错解分析

对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC，则OC是一条线段，而角平分线应是一条射线．

图（1）

图（2）

正解

如图（2）

（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于

1DE的长为半径作弧，两弧交于C点； 2（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线．

典型例题九

例

如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）． 求作△ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h．

图（1）

错解

如图（2），（1）作线段BC=a；

（2）作线段BA=b，使AD⊥BC且AD=h． 则△ABC就是所求作的三角形．

错解分析

①不能先作BC；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD，再作AB，最后确定BC．

图（2）

图（3）

正解

如图（3）．

（1）作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；（2）在DM上截取线段DA=h；

（3）以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B；

（4）以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于C1和C2；（5）连结AC1、AC2，则△ABC1（或△ABC2）都是所求作的三角形．

典型例题十

例

如下图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．

分析

本题解答的关键在于作出∠ACB=90°，然后确定A、B两点的位置，作出△ABC．

作法

如下图

（1）作直线MN：

（2）在MN上任取一点C，过点C作CE⊥MN；（3）在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；（4）连结AB，△ABC就是所求作的直角三角形．

说明

利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．

典型例题十一

例 如下图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．

求作：（1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）． 分析

（1）作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线；

（2）作BC边上的中线，要先确定出BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线． 作法

如下图

（1）①在直线CB外取一点P，使A、P在直线CB的两旁； ②以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线CB于G、H两点； ③分别以G、H为圆心，以大于

1GH的长为半径画弧，两弧交于E点； 21BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点； 2④作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高．（2）①分别以B、C为圆心，以大于②作直线MN，交BC于点F；

③连结AF，则线段AF就是所要求作的△ABC中边BC上的中线．

说明

在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．

典型例题十二

例

如图（1）所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OC．

图（1）

图（2）

分析

由题意知，点C不仅要在∠MON的平分线上，且点C到O、A两点的距离要相等，所以点C应是∠MON的平分线与线段OA的垂直平分线的交点．

作法

如图（2）所示（1）作∠MON的平分线OP；

（2）作线段OA的垂直平分线EF，交OP于点C，则点C就是所要求作的点．

说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．

（2）两条直线交于一点．

典型例题十三

例

如下图，已知线段a、b、∠α、∠β．

求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α；∠C=∠β．

分析

假定梯形已经作出，作AE∥DC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是△ABE，另一部分是AECD．在△ABE中，已知∠B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD．

作法

如下图．

（1）作线段BC=b；

（2）在BC上截取BE=b-a ；

（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA交于A；（4）以EA、EC为邻边作AECD． 四边形ABCD就是所求作的梯形．

说明

基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．

典型例题十四

例

如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．

（2002年，青岛）

分析

依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm，就可以确定出蓝方指挥部的位置．

解

如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置．

典型例题十五

例

如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2002年，大连）

图（1）

图（2）

分析

因为A、B、C三点在⊙O上，所以OA=OB=OC=R．根据到线段AB、BC各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB、BC垂直平分线即可．

解

如图（2）

说明

角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．

典型例题十六

例

如图，是一块直角三角形余料，C90．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．

分析

要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．

作法

如图．

① 作ACB的角平分线CD，交AB于点G；

②过G点分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F．则四边形ECFG就是所要求作的正方形．