高中数学：关于三角形的“四心”与平面向量的结合教案 苏教版必修5_必修5解三角形教案

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关于三角形的“四心”与平面向量的结合[关键字]高中|数学|平面向量|内心|外心|重心|垂心

[内容摘要]每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述，对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习.特别体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者批评指正.一、基础知识复习

1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、典型例题分析 [例]已知点G是ABC内任意一点,点 M是ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过ABC的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出问题]

AB(1)若存在常数,满足MGMA(ABABCAC)(0)AC,则点G可能通过的__________.D是ABC(2)若点的底边

BC上的中点,满足GDGBGDGC,则点

G可能通过ABC的__________.ABAC(3)若存在常数,满足MGMA()(0)ABsinBACsinC,则点

G可能通过ABC的__________.ABAC(4)若存在常数,满足MGMA()(0),则点

ABcosBACcosCG可能通过ABC的__________.[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.[解答过程](1)记ABACe1,e2ABAC,则AG(e1e2).由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.(3)ABsinBACsinC,记ABsinBACsinCh'则AG(ABAC)(')h,.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数

量

积的, 充

分

利

用

.由ABACMGMA()(0)ABcosBACcosCABAC得AG()(0), ABcosBACcosCABAC(关键点)AGBC()BC(0)

ABcosBACcosCABBCACBCAGBC()(0)ABcosBACcosC于是.（BCcos(-B)BCcosB）=(BCBC)0从而AGBC,点G是高线上的点,故应填垂心.[教师点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.三、综合运用

[提出问题]若O点是ABC的外心, H点是ABC的垂心, 且OHm(OAOBOC),求实数

m的值.[思路分析]许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题.[解答过程]由OHm(OAOBOC),得OHOAm(OAOBOC)OA于是HA(m1)OAm(OBOC)，(关键点)HABC(m1)OABCm(OBOC)BC

即HABC(m1)OABCm(OBOC)(OCOB), 由题意,知HABC0,及(OBOC)(OCOB)0,从而(m1)OABC0, 其中OABC0,因此m10,即m1.[教师点评]请读者特别注意解题中的关键点,解这类问题时的技巧也应熟练掌握.[举一反三]通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P点为ABC内任意一点，若P点满足: ABACAP(),0ABACP为ABC的内心1．BABCBPt()，t0BABC;2.D、E两点分别是ABC的边BC、CA上的中点,且

DPPBDPPCP为ABC的外心EPPCEPPA;1AP(ABAC),33.P为ABC的重心1BP(BABC)，3APBC0P为ABC的垂心4.BPAC0;.