数学A版“走进微积分”实习报告_英文版数学微积分

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走进微积分

实习目的：

通过收集微积分创立的时代背景和历史意义的有关材料，体会微积分在数学思想史和科学思想史上的价值。实习过程：

一、微积分的研究对象以及基本概念

研究对象：函数的微分、积分以及有关概念和应用

基本概念：极限、导数、积分等

二、历史上对微积分创立和发展的一些重要评价

微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。它的出现并不偶然，它有一个漫长的成长过程。早在古希腊时代，阿基米德等人的著作就已含有积分学的萌芽。以后经过一千多年的沉寂，欧洲在文艺复兴以后对阿基米德的学说重新掀起研究的热潮，涌现出许多先驱者。而微积分真正的确立是在17世纪，从笛卡儿的解析几何开始，接着是微积分的创建，它将数学的历史带入一个新的时期——变量数学时期。欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。

微积分在数学发展史上可以认为是一个伟大的成就，由于微积分的创立不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而

且由此产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等。

微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学

中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立

了数不清的丰功伟绩。在微积分的创立过程中，牛顿、莱布

尼兹以无穷思想为据，成功地运用无穷小、无限过程进行运

算，他们的努力和成就为极限思想的进一步发展和完善奠定

了坚实的基础．而多方面的怀疑和批评，促使数学家们掀起

了微积分乃至整个分析的严格化运动，进而使极限理论得到

了完善。

三、历史上中外有关微积分思想的一些代表性工作 ①刘徽于公元263年首创割圆术求圆面积和方锥体积

②中国古代数学家利用割圆术用圆内接正九十六边形的面

积近似代替圆面积的方法求圆周率

③古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求

出抛物线弓形的面积

④意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几

何》中把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。

四、微积分创立的时代背景

由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。到

了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了

促使微积分产生的因素。归结起来，有四种主要类型的问题：

①求瞬时速度②求曲线的切线③求函数的最值④求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积

相当大的物体作用于另一物体上的引力。有许多著名的数学

家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究

工作。

笛卡儿于1637年发表了《科学中的正确运用理性和追

求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几

何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以

通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐

标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点

移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关

系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方

程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡儿打破了表示体

积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各

种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数

量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“形”

统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是

它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家

牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在自己的国度里独自研究

和完成了微积分的创立工作。虽然这只是十分初步的工作，他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积

分学的中心问题)。

五、牛顿和莱布尼兹的生平资料

牛顿(1643—1727)：是英国著名的物理学家、数学家和

天文学家，是十七世纪最伟大的科学巨匠。牛顿于 1642 年

出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历

史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用

数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。尽管取得

无数成就，他仍保持谦逊的美德。

莱布尼兹（1646—1727）：德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科

学天才。1646 年生于莱比锡的一个书香之家。15岁进入莱

比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科学，不到 20 岁就熟

练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。他

博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不

可磨灭的贡献。莱布尼兹对数学有超人的直觉，并且对于设

计符号很第三。他的微积分符号“dx”和“∫”已被证明是

很受用的。

六、牛顿和莱布尼兹创立微积分时所做的开创性工作

牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更

多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何

问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。

莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符

号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分

符号远远优于牛顿的符号（现在微积分通用的符号是莱布尼

兹所创设的），这对微积分的发展有极大影响。

实习总结:

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动

和变化着。在数学中引入了变量的概念后, 就有可能把运动

现象用数学来加以描述了.而微积分的创立恰好为此奠定了

基础。微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关

键事件之一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科

学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促

进作用．