数学专业毕业实习报告_数学毕业实习报告

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毕业实习报告

学院名称

专业班级

学生姓名

学号 数学学院 数学学院 数学学院

指导教师

二〇一四年三月

评 定 意 见

毕业实习成绩：指导教师对毕业实习的评语：

毕业实习指导小组的评定意见：

指导教师（签章）：年

教学院长（签章）：系主任（签章）：年月

备战复试

实习地点：····大学

实习时间：2014年2月24日～3月28日

这一段时间，我一直在校准备大连理工大学的复试。笔试内容有实变函数与泛函分析、概率论与数理统计、近世代数。面试过程还会考察复变函数、数值代数。这几门是数学的基础课程，通过这一个月的认真钻研以及不懈努力，我掌握到了更多的数学知识，充实了数学思想，以下是我的学习总结。

一、实变函数与泛函分析

实变函数主要讲解了测度论、可测函数的性质、积分论。泛函分析主要讲解了Banach空间、Hilbert空间、Banach空间基本定理。

测度论：勒贝格认为对于实数直线上的一部分集合族M，使得每个EM，都对应一个实数m，满足三条公理：非负性 m(E)0；可列可加性 如果E1,E2En,两两不想交，那么m(E1E2En)m(E1)m(En)；正则性 m([a,b])ba。满足这三条公理的集合就是可测集。现采用外包的方法进行外测度的确定，对于有界集合E，作开集GE，开集G是一列开区间之和，开区间是有长度的，所以G有测度。取包含E的开集的测度的下确界，称之为外侧度m(E)，同样用闭集填E的内部，用内填闭集的测度的上确界为E的内测度m。如果m，就称E可测。而卡拉泰奥多给（（m（E）*E）*E）出了一个更易证明可测集的定义：设E为Rn中的点集，如果对任一点集T都有

*

*

m*Tm*(TE)m*(TEc)，则称E 为L可测。

可测函数的性质：f(x)是定义在可测集ER的实函数，如果对于任何有限实数a，n

Efa都是可测集，则称f(x)为定义在E上的可测函数。其中有几个定理对于极限过

程和一些运算的可交换性具有重要意义。首先是叶果洛夫定理，设m(E),{fn}是一列

a.e.收敛于一个a.e.有限的函数f(x)的可测函数，则对0，则存在子集EE，使

fn在E上一致收敛，且m(EE)。其次是鲁津定理，对于一般的可测函数可以说是

基本上连续。最后是里斯定理，依测度收敛的函数列fn，则存在子列fnia.e.收敛于f(x)。积分论：由于黎曼积分与极限可交换的条件太严格，必须要求函数列的一致收敛性，还有积分运算不完全是微分运算的逆运算。R积分是对定义域进行分割求和取极限，而L积分是对值域进行分割求和取极限。首先讨论非负简单函数，再考虑非负可测函数的L积 分，

E

f(x)dxsup



E

(x)dx:(x)是E上的简单函数且xE时，0(x)f(x)



讨论了列维定理即积分与极限交换次序，Fatou引理。最后探讨一般的可测函数的L积分。



因为f(x)=ff，其中f与f都是非负函数。这样就转化为了非负可测函数的L积

分问题。其中勒贝格控制收敛定理解决了一般的可测函数列的极限与积分交换次序。

fnF(x)a.e.于E,F(x)非负可积，且limfnf(x)a.e.于E,则limfndxfdx

n

nE

E

Banach空间即为完备的赋范线性空间。证明一个空间是 Banach空间时，先证明满足范数定义，然后证出任一的柯西点列都收敛到空间的一点。有几个重要的Banach空间：C、C[a,b]、l。

Hilbert空间即为完备的内积空间。若一个空间不构成内积空间即可证明出不是Hilbert空间。必要条件满足公式：xyxy2(xy)

Banach空间基本定理包括泛函延拓定理、一致有界性定理、闭图像定理、里斯表示定

理。其中若要证明一个有界线性算子是否有界，可以验证其是否为闭算子。

二、概率论与数理统计

我认为这门学科主要是事件的概率计算、随机变量的分布函数以及数字特征、大数定律与中心极限定理、点估计、假设检验。

全概率公式：设B1,B2,是一列互不相容的事件，且有





B

i1i



i

P(Bi)0则对任一

事件A，有P(A)

P(B)P(A|B)。还有贝叶斯公式B

i

i

i1

i1

P(Bi)0则对任一事

件A，有P(Bi|A)

P(Bi)P(A|Bi)

P(B)P(A|B)

j

j

j1

。

随机变量的分布函数以及数字特征：随机变量包括离散型和连续型。对于离散型随机变量来说分布函数就是其概率。而连续型则含有概率密度，计算联合密度函数是重点。设

g1(x,y)，且存在唯一反函数（,）的联合密度函数为p(x,y)如果函数

g2(x,y)xx(,)(x,y)，且变换的雅克比行列式，则p(,)p(x(,),y(,))J。J

(,)yy(,)

还有两个随机变量的相互独立性和不相关性。其中连续型随机变量的相互独立，等价于

p(x,y)p(x)p(y)，其必要条件为E()E()E()，其为不相关性的等价条件，即协

方差Cov(,)E()E()E()。所以不相关不一定独立，因为如果随机变量不相关也就是不存在线性关系，还有可能存在别的函数关系，所以不一定独立。而独立的随机变

量一定不相关。

多次试验的频率靠近概率意味着P（n

n

p)0n，即为伯努利定理。若

1，2n是随机变量序列，若存在常数a1,a2使其对任意的0，有

limP(|

n



i1

n

i

n

an|)1，则{n}服从大数定律。而中心极限定理对于解决伯努利试验

随机变量的取值。1，2n是独立同分布的随机变量，且有Eka,Dk2，则有

limP(k1



n

k

na

x)(x)。其中(x)服从N(0,1)分布。

n

参数估计包括点估计以及区间估计。首先得构造统计量，是字样的一个函数。最常用的是字样均值，子样方差，字样K阶矩，k阶中心距。其中点估计中的矩法估计具有样本少，简单易计算的优点，其中的K阶矩kE。但是无法计算出估计的参数与真实值之间的误差。极大似然估计必须得知道样本的分布函数，无偏估计是估计量的期望等于原参数。有效估计是在无偏估计的基础上，估计量的方差越小越有效。而区间估计即为置信区间的计算，能估计出估计量落在一定区间上的概率。

假设检验包括u检验，t检验，检验，F检验。首先确定原假设与备择假设，再构造相应的统计量，若子样的观察值落在拒绝域内就拒绝原假设，否则接受原假设。

三、近世代数

主要讲解了群、环、域，以及一些重要的例子，如剩余类群、对称群、循环群、正规子群、商群、整环。

k

设非空集合G，“.”是G上的代数运算，若满足结合律，有单位元，有逆元，则为群。

_

其中Zm关于剩余类的加法构成群，其单位元为0，而U(m)aZm,(a,m)1，关于



剩余类的乘法构成群，单位元为1。而若存在正整数r，使ae，则称a是有限阶的，若

r

Ga，则G是循环群，a是生成元。Zm的生成元是1。由正规子群可以定义商群。设

H是群G的子群，如果对每个aG，都有aHHa。则H为正规子群。值得注意的是不

''

能由aHHa退出ahha，而是对任意的hH,存在hH,使ahha。定义

G/HaH|aG为H的所有陪集组成的集合。商群是在陪集的基础上满足

(aH)(bH)(ab)H。

群是具有一种代数运算的代数体系，而环就是具有两种运算的代数体系。满足（1）R关于加法构成一个交换群。（2）乘法结合律成立（3）乘法对加法的分配率成立。则R,为一个环。环不一定具有单位元。其中整环是一个无零因的，有单位元的交换环。

域则是一个有单位元1F0且每个非零元都可逆的交换环。

实习体会：

以上就是我这一阶段的复习总结，通过不懈努力不仅掌握了更多的数学知识，而且让我在复试的笔试中取得优异成绩，为今后的研究生学习打下基础。