证明数列不等式的常用放缩方法技巧(不含答案)精减版_放缩法证明数列不等式

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(不含答案)精减版由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“放缩法证明数列不等式”。

证明数列不等式的常用放缩方法技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：

⑵将分子或分母放大（或缩小）a21a；n(n1)n

n(n1)n(n1)⑶利用基本不等式，如：lg3lg5(lg3lg52)lglglg4；

201n01⑷二项式放缩:2n(11)nCn,2nCnCnCnCnn1,22nC0C1C2nn22nn(n1)(n2)nnn2

(5)利用常用结论：

Ⅰ.的放缩

Ⅱ.1的放缩(1)：

k2111（程度大）2k(k1)kk(k1)

11111（程度小）()k1(k1)(k1)2k1k12Ⅲ.1 的放缩(2)：122kk

411（程度更小）Ⅳ.1的放缩(3)：

1222()k4k12k12k1k2

Ⅴ.分式放缩还可利用真（假）分数的性质:bbm(ba0,m0)和bbm(ab0,m0)

aamaam

记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：f(x)x(x0)，从而实现利用函数单调性质的放缩：1x

f(ab)f(ab)。

一． 先求和再放缩

例1.an

1,前n项和为Sn，求证：sn1 n(n1)

例2.an(), 前n项和为Sn，求证：sn

13n1 2/ 6

二． 先放缩再求和

（一）放缩后裂项相消

例3．数列n，（二）放缩后转化为等比数列。{a}an(1)n11s2nn，其前n项和为sn，求证：2

2{b}b1,bb(n2)bn3 n1n1n例4.满足：

bnn

11111Tn...Tn3b13b23b33bn，求证：2（2）（1）用数学归纳法证明：

三、裂项放缩

例5.(1)求k1n24k21n的值;(2)求证:15.2k1k

3例6.(1)求证:1112235171(n2)

262(2n1)(2n1)

(2)求证:111111 2416364n24n

(3)求证：2(n11)11112(n11)

2n

例7.求证:6n111512(n1)(2n1)49n3

例8.已知an4n2n,Tn

2na1a2an,求证:TTTT3.123n

2四、分式放缩

姐妹不等式:bbm(ba0,m0)和bbm(ab0,m0)

aamaam

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.例9.姐妹不等式:(11)(11)(11)(11)n1和

352n

111111也可以表示成为(1)(1)(1)(1)2462n2n1

2n1和135(2n1)2462n2n12462n135(2n1)

111例10.证明:(11)(1)(1)(1)3n1.473n

2五、均值不等式放缩

例11.设Sn23n(n1).求证n(n1)S2n(n1)

2.2

例12.已知函数f(x)

求证：f(1)11，a>0,b>0,若4，且f(x)在[0，1]上的最大值为，f(1)bx21a2

512n1f(2)f(n)n1.2六、二项式放缩

01n012n(11)nCn,2nCnCnCnCnn1, 22nC0C1C2nn22nn(n1)(n2)nnn

2例13.设n1,nN，求证(2)n38.(n1)(n2)

例14.an23n ,试证明：.n1111≤ 4n2a1a2an

4七、部分放缩(尾式放缩)

例15.求证: 1

1313211

32n11

47例16.设an1111,a2.求证：an2.ana2a

3八、函数放缩

例17.求证：ln2ln3ln4ln33n5n6(nN*).n23436n

2例18.求证:2,ln2ln3lnn2nn1(n2)23n2(n1)

例19.求证:111ln(n1)111 23n12n

九、借助数列递推关系例20.若a11,an1ann1,求证:1a1 112(n11)a2an

例21.求证:113135135(2n1)2242462462nn2

1十、分类放缩例22.求证:111231n

212n