比较法、分析法、综合法、换元法证明不等式_分析法证明不等式

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2a b 11ab

2a2 b22ab a2 b1(ab)2

22 2ab整式形

式 ab2 22ab ab2  a bab2 根式形式22 ba2(ab) b a分式形2(a,b同号） ab1 0a2aa 倒数形式1 a0a2a

1.比较法、分析法、换元法

一.比较法（作差比较或作商比较）

1）作差比较法：要证不等式abab，只需证ab0ab0即可。其步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论。

2）作商比较法：若b0，要证不等式ab，只需证

作商、变形、判断与1的大小、得出结论。

222222例1.设abc，求证：bccaabbccaab aa1，欲证ab，需证1。其步骤为：bb

22例2（1）证明不等式ababab

1abba（2）若a>b>0，求证：abab

ba

2abb（3）若a>b>0，求证：a

二.分析法

a3b3ab3()22例2已知a>0，b>0，求证：

2222证法二由(ab)0，得a2abb0，aabbab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(ab)(aabb)ab(ab)，33223322∴ababab，3a3b3ab3ab 22

∴4a4ba3ab3abb(ab)，333223

3a3b3(ab)3

28∴，a3b3ab3()22∴。

2ab练习．1.已知ab0，求证：8aab abab28b2

2.求证

a2b2aa

均值不等式

例3已知a、b、cR，且a+b+c=1。

111(1)(1)(1)8bc求证：（1）a

（2）abc

例4设a、b、c、dR，令sabcdadbbcacdbdac，求证：1

114例5已知a>b>c，求证：abbcac

2.均值换元法：

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。例2.已知a，bR且ab1，求证：a2b2

2225 2

例3.设a，b，c为三角形三边，求证：

4.增量换元法： abc3 bcaacbabc

例4.已知a2，b2，求证：abab