初中数学竞赛精品标准教程及练习20：代数恒等式的证明_初中数学竞赛练习

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（20）

代数恒等式的证明

一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。具体证法一般有如下几种

1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。

2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。

3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3－2＋2×5＋3－2＝10（5+3－2）

证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2 －2 n）

＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)n+2 n＋2 n+2 n n n+1 n n-1＝10（5+3－2）=右边

又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)n+1 n n-

1＝2×5＋10×3－5×2右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1

＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n

∴左边＝右边 n+2 n n

例2 己知:a+b+c=0求证：a3+b3+c3=3abc

证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0

333333∴a+b+c－3abc＝0即a+b+c=3abc

又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）

两边立方a=－（b+3bc+3bc+c）

移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc33223再证：由己知 a=－b－c代入左边,得

（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c

3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc

例3 己知a+

证明：由己知a-b=

1bb1c1bc1a,a≠b≠c 求证：a2b2c2=1 1cbcbc∴bc=cabcab ab

cab-c=1

a1

cca

∴ab bc ca＝

2cabcabbccacaabbc

2∴ca=同理ab= ＝1即abc=1 2222例4 己知:ax+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b－4ac=0证明：设:ax+bx+c＝（mx+n），m,n是常数

那么:ax+bx+c＝mx+2mnx+n

am

2根据恒等式的性质 得b2mn ∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0

2cn22222

三、练习20

1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab

②（x+y）+x+y=2(x+xy+y)③(x-2y)x－(y-2x)y=(x+y)(x-y)④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1)⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)

2.己知：a+b=2ab求证：a=b

3.己知：a+b+c=0

求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2

4.己知：a2=a+1求证：a5=5a+3

5.己知：x＋y－z=0求证： x3+8y3=z3－6xyz

6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc求证：a=b=c

7.己知：a∶b=b∶c求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)

8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac求证：

9．己知：x

aby

bcz

ca1a1b1b1c22444222333求证：x+y+z=0

10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式

11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除求证：ad=bc

练习20参考答案：

1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3 n-1

2.左边－右边＝（a-b）

3.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……

4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入

5.用z=x+2y代入右边

6.用已知的（左－右）×2

7.用b=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式

8.在已知的等式两边都除以abc

9.设三个比的比值为k,2210.(2x-x-2)11.用待定系数法