不等式的证明方法总结_不等式的证明方法

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不等式的证明方法总结

西安高新三中张霁

一．比较法（作差比较，作商比较）

例1．已知x(x2-y2)(x+y)．

证明：∵(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y)>0

∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y)．

例2．已知a>b>c，求证a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2．

证明：∵(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)

222=a(b-c)+a(c-b)+bc(b-c)

=(b-c)(a2-ac-ab+bc)

=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]

=(a-b)(a-c)(b-c)>0

222222∴ab+bc+ca>ab+bc+ca．

例3．已知a，b>0，a≠b，求证aabb>abba． aabba证明：baaabbba()ab． abb

a1 ∴上式>1； b

a当b>a>0时，a-b1； b

abba∴ab>ab．

(注意：作差法，比较差与0的大小；作商法，比较商与1的大小．)

二．综合法

bccaababc． 例4．已知a，b，c>0，求证abc当a>b>0时，a-b>0，证明：∵

同理bccabcca22c，ababcaab2a，bc

abbc2b，ca

bccaab∴2()2(abc)，abc

bccaababc． 即abc

111例5．已知a，b，c>0，a+b+c=1，求证(1)(1)(1)8． abc

111证明：(1)(1)(1)abc

1a1b1c= abc

bcacab= abc

2bc2ac2 abc

=8

三．分析法

例6．已知a≥3，求证a12a3． 证明：要证原式，只需证aa3a12，即证(aa3)2(a1a2)2 即证2a32(a3)2a32a1)(a2)即证a(a3)(a1)(a2)

即证a2-3a≤a2-3a+2

即证0≤2

因为上式成立，所以原式也成立．

四．换元法

a2b2

(ab)2． 例7．已知00，求证x1x

证明：方法一.令x=sin2α，则1-x=cos2α．

a2b2 x1x

=a2csc2α+b2sec2α

=a2(1+cot2α)+b2(1+tan2α)

=a2+b2+a2cot2α+b2tan2α

≥a2+b2+2acotα·btanα

=(a+b)2

a2b2a2b2a2(1x)b2x22方法二.()[x(1x)]ab(ab)2.x1xx1xx1x

五．放缩法

abcd2． abdbcacdbdac

abcd证明： abdbcacdbdac例8．已知a，b，c，d>0，求证1

abcd1； abdcbcadcdbadacb

abcd abdbcacdbdac

abcd2．

n(n1)n(n2)223n(n1),(nN)． 例9．求证22>

证明：223n(n1)>122nn

=1+2+…+n n(n1)=； 2

223n(n1)1223n(n1) 222

1=[(12n)(23(n1))] 2

1n(n1)n(n3)] =[222

n(n2)=． 2

练1．已知x，y>0，求证

2xyxy． 1xy1x1y131

n2n． 练2．求证n1

练3．求证11112． 22223n

六．反证法

例10．已知p3+q3=2，求证p+q≤2．

证明：假设p+q>2，则(p+q)3>23，即p3+3p2q+3pq2+q3>8，即p2q+pq2>2，即p2q+pq2>p3+q3，即pq(p+q)>(p+q)(p2-pq+q2)，即pq>p2-pq+q2，即p2 +q22pq矛盾，所以p+q≤2．

例11．已知f(x)=x2+px+q，求证

⑴f(3)+f(1)-2f(2)=2；

⑵|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于0．5．

证明：⑴f(3)+f(1)-2f(2)=(9+3p+q)+(1+p+q)-2(4+2p+q)=2；

⑵假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|

则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|

而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>|f(1)-2f(2)+f(3)|=2，矛盾．

所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于0．5．

七．判别式法

例12．已知a，b，c，d∈R，求证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．

证明：当a=b=0时，上式显然成立；

当a，b不全为0时，因为关于x的不等式(ax-c)2+(bx-d)2≥0恒成立，22222即(a+b)x-2(ac+bd)x+(c+d)≥0恒成立，由△≤0，即得(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．

综上所述(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．

八．构造向量

22222例13．已知a，b，c，d∈R，求证(a+b)(c+d)≥(ac+bd)． 证明：设向量=(a，b)，=(c，d)．

，∴|ac+bd|≤a2b2c2d2，平方即得(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．

九．构造函数

例14．已知△ABC的三边长是a，b，c，且m>0，求证

证明：令函数f(x)=abc． ambmcmx,(x0).xm

xmmm1,知f(x)在(0，+∞)上是增函数． 由f(x)=xmxm

∵a+b>c

∴f(a+b)>f(c)abababcf(ab)f(c)∴，ambmabmabmabmcm得证．

例15．已知b>a>e，求证ab>ba． lnx,(xe)，证明：令f(x)x

1lnxf'(x)0，x2

∴f(x)在(e，+∞)上是减函数．

∵b>a>e，∴f(b)

即lnblna，ba

∴alnbba．

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