浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧_用放缩法证明不等式

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浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

分类：学法指导

放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证

做“放”，由B到C叫做“缩”。

常用的放缩技巧还有：（1）若（2），欲寻找一个（或多个）中间变量C，使，由A到C叫

（3）若则（4）

（5）（6）

或

（7）

等。

用放缩法证明下列各题。

例1 求证： 等

证明：因为所以左边因为99＜100（放大）＜

所以

例2（2000年海南理11）若

证明：因为 求证：因为 所以

［因为

大），所以又所以是增函数］，所以（放，所以

例3（2001年云南理1）求证：

证明：（因为）

［又因为

例4 已知证明：因为

求证：

（放大）］，所以所以

例5 求证：

证明：因为（因为）（放大）

所以

例6（2000年湖南省会考）求证：当时，函数的最小值是当

时，函数的最大值是

证明：因为原函数配方得又因为

所以（缩小），所以函数

y的最小值是。当所以

（放大），所以函数y的最大值是

例7 求证：

证明：因为立。

例8（2002年贵州省理21）若证明：因为

所以

证

（当且仅当

（分母有理化）所以原不等式成求证：

而

所以

同理可

时，取等号）。

例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：

证明：不妨设据三角形三边关系定理有：便得

所以原不等式成立。

例10（1999年湖南省理16）求证：

证明：因为又

所以原不等式成立。

例11 求证：

证明：因为左边

证毕。

例12 求证

证明：因为

注：

1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若

所以左边

则。

2、使用放

缩法时，“放”、“缩”都不要过头。

3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。