g3.1039 不等式证明方法(二)_证明不等式常用方法

2020-02-27 证明下载本文

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g3.1039 不等式证明方法

（二）一、知识回顾

1、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原结论的正确；

2、放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得，常用的放缩方式： BB1,B1B2...A（或AA1,A1A2...B）

舍去或加上一些项；



1111;22nn(n1)nn(n1)

3、换元法：三角换元、代数换元；

4、判别式法

二、基本训练：

1、实数a、b、c不全为零的条件为（）

A)a、b、c全不为零B)a、b、c中至多只有一个为零

C)a、b、c只有一个为零D)a、b、c中至少有一个不为零

2、已知a、b、c、dR，sabcd，则有（）abcabdcdacdb

A)0s2B)1s2C)2s3D)3s

43、为已知x2y24，则2x3y的取值范围是________。

4、设x0、y0，Axyxy,B，则A、B大小关系为________。1xy1x1y5、实数xxy，则x的取值范围是________。y

3三、例题分析：例

1、x＞0，y＞0，求证：xy(xy)

例

2、函数f(x)x2(ab)，求证：|f(a)f(b)||ab|

例

3、已知:a2b21,x2y21,求证:1axby1（三角换元法）

例

4、求证：1

223x11（判别式法）x2x1

3例

5、若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

例

6、求证：1

例

7、设二次函数f(x)ax2bxc(a、b、cR且a0)，若函数yf(x)的图象与直线

yx和yx均无公共点。1.4（反证法）1112(nN)（放缩法）22223n

（1）求证：4acb2

1（2）求证：对于一切实数x恒有|ax2bxc|

四、课堂小结：

1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.2、换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.3、含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度.五、同步练习g3.1039 不等式证明方法

（二）4|a|

1、若x2xyy21且x、yR，则nx2y2的取值范围是（）

A)0n1B)2n3C)n2D)2n232、已知a、bR，则下列各式中成立的是（）

A)acos2bsin2abB)acos2bsin2ab

C)cos2lgasin2lgblg(ab)D)cos2lgasin2lgblga(b)

3、设,y∈R,且x2+y2=4,则

A)2-

24、若f(n)= 2xy的最大值为（）xy2B)2+22C)-2D)4 3n21-n,g(n)=n-n21,φ(n)= 1,则f(n),g(n),ф(n)的大小顺序为2n

____________.5、设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.6、a、b、c∈R-，a≠b，求证：|ab|a2abb2a2b

2111 abbcac

（提示：换元法，令a－b=m∈R＋，b－c=n∈R＋）

1111122218、若nN，且n2，求证：2n123n7、a＞b＞c，求证：