高三数学~几何证明选讲_高中数学几何证明选讲
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德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 高三数学~~几何证明选讲
1、外接圆的切线证明
[ 高三数学] 题型:探究题
问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路
考查知识点：
圆的切线的判定定理及性质定理
难度:难
解析过程：
规律方法：
熟练掌握圆的切线的判定方法是解题的关键。
2，急！关于一道几何题！
[ 高三数学]题型:解答题
在三角行ABC中，角C=30度，O为外心，I为内心，边AC上的点D与边BC上的点E，使AD=BE=AB，求证：OI=DE且OI垂直
问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路
德智知识点 http://www.daodoc.com/knowledge德智QQ学习分享群：26192056
2德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue
考查知识点：
难度:难 直角三角形射影定理
解析过程：
解：
已知三角形ABC中，O、I为其外心和内心，角C=30度，D、E分别为AC和BC上两点，且AD=AB=BE，求证：OI=DE，且OI垂直于DE。
证明：辅助线如图所示：
∵O为外心
∴∠AOB=2∠C=60°
∴△AOB为等边三角形
∵I为内心
∴∠IAB=∠IAE
又∵AB=AE
利用SAS
可知：△IAB≌△IAE
同理可证：△IAB≌△IDB
∴∠EIA=∠DIB=∠AIB
=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)/
2=180°-(180°-30°)/2=105°
∴∠EID=360°-3∠EIA=360°-3×105°=45°
∠EFD
=(∠AEO-∠ECF)+(∠BDI-∠DCF)=∠AEO+∠BDI-(∠ECF+∠DCF)=(90°-∠EAO/2)+∠BAI-30°=60°+(∠BAE-∠EAO)/2
=60°+∠BAO/2=60°+30°
德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue =90°
∴EO⊥DI
同理可知：DO⊥EI
∴O为△EID的垂心
∴IO⊥ED
∴∠OID+∠EDI=∠DEO+∠EDI=90°
∴∠OID=∠DEO
又∵∠EID=45°
∴△EFI为等腰直角三角形
∴EF=IF
根据ASA知：△OIF≌△DEF
∴OI=ED
综上所述：OI⊥ED且OI=ED
规律方法：
此题太难，高考的要求不会这样难啊。知识点：几何证明选讲
概述
所属知识点：
[几何证明选讲]
包含次级知识点：
平行切割定理、直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理
知识点总结
本节主要包括平行切割定理、直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理等知识点。
1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2、平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3、相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：
相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
5、圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
6、圆内接四边形的性质与判定定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补。
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理。
7、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质
8、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段
9、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
10、割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
11、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
12、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
常见考法
本节在段考和高考中，是以填空题的形式出现，属于选做题。一般属于容易题。
误区提醒
在利用相似三角形解答时，注意通过对应边找对应角，通过对应角找对应边，不要找错了。
【典型例题】
例1如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点
E.例2 如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的长；
德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue(2)求证：EF＝
BE.德智知识点 http://www.daodoc.com/knowledge
