初三数学上第一章证明(二)知识点及典型题解析_初三数学第一章知识点

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初三数学上学期 第一章：证明(二)

考点1：利用定理证明

一、考点讲解：

公理

1、一直线截两条平行线所得的同位角相等，公理2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行．

公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等． 公理4．全等三角形的对应边相等，对应角相等．

定理1.平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补．

定理2．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行．

定理3．三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．

定理4．直角三角形全等的判断定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．

定理5．角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）

定理6．垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）定理7．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

定理

8、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理．

二、经典考题剖析：

【考题1－1】（2004、深圳南山，5分）如图l－l－1，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．

（1）求证：AF⊥DE；

（2）求证：FH= GH．

证明：

（1）在△ADE中，AD=AE，F是DE的中点

∴ AF是等腰△ADE 底边DE上的中线∴ AF⊥DE．

（2）连结GC．∵AF⊥DEH是AC 的中点

∴FH是Rt△AFC斜边 AC上的中线∴FH2AC 同理：GH2AC∴FH=GH

【考题1－2】（2004、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.1

1(1)①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE

∵AC=BC∴△ADC≌△CEB

②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE

(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE∵AC=BC∴△ACD≌△CBE

∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE

(3)当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD－CE=BE－

AD.三、针对性训练：(15分钟)

1．如图1－1－4，Rt△ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高；DE⊥AB，DF⊥

AC，垂足分别是E、F，则图中与∠C（除∠C外）相等的角的个数是（）

A．2B．3C．4D．

52．如图1－1－5，△ABC中，△ABC和△ACB的外角平分线交于点O，设∠

BOC=α，则∠A等于（）C.180-2D.180-2A.90-2B.90-

3．如图1－1－6，△ABC是不等边

三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可作出（）

A．2个B．4个C．6个D．8个

4．如图1－1－7，△ABC是直角三角形，BC是斜边，△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP重合，如果AP=3，则PP′的长等于（）

A．3B．23C．32D．

45．如图1－1－8，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D、E、F分别是三边的中点，且CF=2 cm，则DE=_________cm．

考点2：命题

一、考点讲解：

1．命题的组成：命题由条件和结论两部分组成．

2．命题的形式：命题的形式通常写成“如果„„，那么„„”的形式．

3．真命题与假命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（注意：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题〕

二、经典考题剖析：

【考题2－1】（2004、南宁，8分）如图1－1－14，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）

① AE=AD②AB=AC③OB=OC④∠B=∠

C

点拨：解答本题时，可选取以上三种情况中的一种即可，注意：已知两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．

【考题2－2】（2004、江苏盐城，3分）下列命题中，假命题是（）

A．平行四边形的对角线互相平分

B．矩形的对角线相等

C．等腰梯形的对角线相等

D．菱形的对角线相等且互相平分

解: D 点拨：当菱形为正方形时，其对角线才有相等的性质，而一般菱形不具有对角线相等的性质．

三、针对性训练：(15分钟)

1．下列命题中，真命题是（）

A．面积相等的两个三角形是全等三角形

B．有两边及一组对应角相等的两个三角形全等

C．全等三角形的周长相等

D．有一条直角边对应相等的两个三角形全等

2．下列命题中正确的是（）

A．实数是有理数B．无限小数是无理数

C．数轴上的点与有理数一一对应

D．数轴上的点与实数一一对应

3．下列命题为假命题的是（）

A．等腰三角形的两腰相等

B．等腰三角形的两底角相等

C．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合D．等腰三角形是中心对称图形

4．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的是（）

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.5．如图1－1－15，在△ABC中，CD⊥ AB，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不在图中添加

辅助线）

条件：_____________________________________

结论：

_____________________________________

考点3：尺规作图

一、考点讲解：

1．五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平

分线；作三角形．

2．尺规作图要求：了解尺规作图的步骤，会写已知、求作和作法（不要求证明）．

二、经典考题剖析：

【考题3－1】（2004、湖北宜昌，7分）如图1－l－17，已知△ABC，（1）作∠B的角平分线（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)

（2）若∠C=90○，∠B=60○，BC=4，∠B的平分

线交AC于点D，请求出线段BD的长．

解：（1）如图1－1－18，BD为∠ABC的角平分线；

（2）因为BD为∠ABC的平分线，∠ABC=60○．

所以∠CBD=30○．又∠C=90○，所以 BD=2CD，设CD=x，则BD=2x．而BC=4，所以（2x）2－x2 =42所以,所以BD=

2点拨：求BD的长，也可利用三角函数知识求解．

三、针对性训练：(15分钟)

1．利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（）

A．已知三边B．已知两边及夹角

C．已知两角及夹边 D.已知两边及其中一边的对角

2．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）

A．已知两条直角边B．已知两个锐角

C．已知一直角边和一锐角D已知斜边和一直角边

3．作线段的垂直平分线的理论，根据是_______和两点确定一条直线．

4．请根据图1－l－19所示的作图痕迹，填写画线段AB的垂直平分线的步骤．

第一步：分别以_______、________为圆心，以大于_________半的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交于点_____和_______；

第二步：经过点_______和______画______，直线CD就是线段AB的垂直平分线．

5、∠AOB如图1－l－20所示，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线．要求保留作图痕迹，不写作法）

各地中考真题回顾

1、如图1－1－22,在等腰RtABC 中,AC=BC,以斜边AB为一边作等边ABD,使点C,D在AB的同侧;再以CD为一边作等边CDE,使点C,E落在AD的异侧.若AE=1,则CD的长为（）

2、下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：

学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．

同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法．

（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？

（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）

3、如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。A

⑴、求x为何值时，PQ⊥AC；

⑵、设△PQD的面积为y(cm2)，QO

当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；

⑶、当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积； 图1－1－24 BD

⑷、探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)

4、已知：如图1－1－24，AG∥BC，DE∥AG，GF∥AB，点点E为AC的中点，求证：DE=FC5、已知：如图1－1－25，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB,AB=2，BD=l，过点D作DM⊥AD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P．

(1)求sin∠ACB的值；

(2)求MC的长；

图

－1－

5(3)若点Q以每秒1个单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由

6、如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。，则顶角的度数为（）图1－1－26(A)60(B)120(C)60或50(D)60或120

8、已知△ABC，(1)如图1－1－27，若P点是ABC和ACB的角平分线的交点，则 P=901A； 2

(2)如图1－1－28，若P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，则P=90A；

(3)如图1－1－29，若P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点，则P=902A。