§24.3命题与证明_沪教版证明与命题
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§24.3 命题与证明
1.定义、命题与定理
试一试
观察图24.3.1中的图形，找出其中的平行四边形．
图
24.3.1要解决这个问题，首先要弄清楚怎样的图形才能称为平行四边形．你还记得 以前学过的知识吗？
“有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这句话说明了平行四边形 的含义以及区别于其他图形的特征．一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义（definition）.还可以举出如下的一些定义：
（1）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形．
（2）有六条边的多边形，叫做六边形．
（3）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．
定义必须是严密的．一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现．正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的 事物或名词区别开来．
思 考
试判断下列句子是否正确．
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（2）三角形的内角和是180°；
（3）同位角相等；
（4）平行四边形的对角线相等；
（5）菱形的对角线相互垂直．
根据已有的知识可以判断出句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
在数学中，许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果„„那么„„”的形式．其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．例-1-
如，在命题（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．例1 把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果„„那么„„”的形式，并分别指出命题的题设与结论．
解这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.” 这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axiom）．例如，我们通过探索，已经知道下列命题是正确的：
（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线
平行；
（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分
别对应相等，那么这两个三角形全等；
（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等．
我们把这些作为不需要证明的基本事实，即作为公理．
此外，我们把等式、不等式的有关性质以及等量代换（即在等式或不等式中，一个量用它的等量替代）都作为逻辑推理的依据．
有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）．
例如，运用公理“两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等”，可以得到定理：“两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．”
定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的根据．
练 习
1.找出右图中的锐角，并试着对“锐角”写出一个确切的定义
.2.把下列命题改写成“如果„„那么„„”的形式，并指出它的题设和结论.（1）全等三角形的对应边相等；
（2）平行四边形的地边相等.3.指出下列命题中的真命题和假命题.（1）同位角相等，两直线平行；
（2）多边形的内角和等于180°；
（3）如果两个三角形有三个角分别相等，那么这两个三角形全等.2.证明
思 考
一位同学在钻研数学题时发现：
2＋1＝3，2×3＋1＝7，2×3×5＋1＝31，2×3×5×7＋1＝211．
于是，他根据上面的结果并利用素数表得出结论： 从素数2开始，排在前 面的任意多个素数的乘积加1一定也是素数．他的结论正确吗？
如图24.3.2所示，一个同学在画图时发现： 三角形三条边的垂直平分线的 交点都在三角形的内部．于是他得出结论： 任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．他的结论正确吗？
图
24.3.2我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形、八边形等的内角和，得到一个结论： n边形的内角和等于（n－2）×180°．这个结果可靠吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
上面几个例子说明： 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实．
根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明（proof）．
前面的学习已经告诉我们： 一条直线截两条平行线所得的内错角相等．下面我们运用前面所提到的基本事实，即公理来证明这个结论．
例1 证明： 一条直线截两条平行直线所得的内错角
相等．
已知： 如图24.3.3，直线l1∥l2，直线l3分别和l1、l
2相交于点A、B．
求证： ∠1＝∠3．
证明 因为l1∥l2（已知），所以∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
图
24.3.3 又∠2＝∠3（对顶角相等），所以∠1＝∠3（等量代换）．
如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子就可以了，这称为“举反例”．例如，要证明“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举一个反例，例如锐角等于30°，钝角等于120°，但它们的和就不等于180°，从而说明这个命题是假命题．
练 习
1.根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）；
（1）两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；
（2）在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角
形是直角三角形.2.判断“同位角相等”是真命题还是假命是，并说明理由.在以往的学习中，我们已经知道下面的例题所表述的结论
是正确的，现在通过推理的方式给予证明．
例2 内错角相等，两直线平行．
已知：如图24.3.4，直线l3分别交l1、l2于点A、点B，∠
1＝∠2．
求证： l1∥l2．
图
24.3.4证明 因为∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），所以∠2＝∠3（等量代换），所以l1∥l2（同位角相等，两直线平行）．
例3 已知：如图24.3.5，AB和CD相交于点O，∠A＝
∠B．
求证： ∠C＝∠D．
证明 因为∠A＝∠B（已知），所以AC∥BD（内错角相等，两直线平行）． 图
24.3.5 所以∠C＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
试一试请在下面题目证明中的括号内填入适当的理由．已知：如图24.3.6，AD＝BC，CE∥DF，CE＝DF．求证： ∠E＝∠F．证明： 因为CE∥DF（），所以∠1＝∠2（）.在△AFD和△BEC中，因为 图
24.3.6DF＝CE（），∠1＝∠2（），AD＝BC（），所以△AFD≌△BEC（），所以∠E＝∠F（）．
练 习
1.已知：如图，直线AB、CD被EF、GH所截，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠4.（第1题）
（第2题）
2.已知：如图，AB=AC, ∠BAO＝∠CAO.求证：OB＝OC.习题24.31.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举一个反例加以说明.（1）两个锐角的和等于直角；
（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等.2.把下列命题改成“如果„„那么„„”的形式.（1）三角形全等，对应边相等；
（2）菱形的对角线相互垂直；
（3）三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.3.证明：平等四边形的两组对边分别相等.（提示：连结AC）
(第3题)（第4题）
4.如图，OA＝OB，PA＝PB，试证明：OP平分∠AOB.5.证明：矩形的两条对角线长相等.(第5题)（第6题）
6.如图，已知：DC＝AB，AD＝BC，点E、F在AC上，AE＝CF.试找出图中所有的全等三角形，并用有关全等三角形的基本事实加以证明.
