几何证明选讲第一讲：相似三角形_相似三角形证明有答案

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几何证明选讲

>知识框图

第一讲 相似三角形的判定及有关性质

一．考纲要求

掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理。

二．知识梳理

1.平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2.平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的判定及性质

(1)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。AA

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。SAS

判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。SSS

(2)直角三角形相似的判定：

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比

1例，那么这两个直角三角形相似。

(3)相似三角形的性质：

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比；

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。4.直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。三．诊断练习

1．如图1，ΔABC中，∠1=∠B，则Δ∽Δ．此时若AD=3，BD=2，则AC=． 2.如图2，CD是RtΔABC的斜边上的高．

（1）若AD=9，CD=6，则BD=；（2）若AB=25，BC=15，则BD=．

┐

D

B

C图1 图

23．两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另

一个三角形的最短边长为． 4.在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于点F，B 若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为cm2． E

5.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC

DBF

于F，则=.FCF四．范例导析

1.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，P是AD上一点，CF//AB，BP的延长线分别交AC、CF于点E、F，求证：BP2＝PE·PF

D

C

2．在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F,求证：CEF∽CBA

五．练习巩固

1.（2011安徽）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分别为

B

AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为

2.(2011年高考陕西卷理科15)（几何证明选做题）如图BD,AEBC,ACD90,且AB6,AC4,AD12,则BE0

3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABb,CDa,E为AD边上的任意一点，EF

∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

DEAEDEAEDE

1时，有EF2时，有EF3时，有EF

ab2a2b3a3b

①当②当③当

； ； ．

4AE

DE当k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论是____.AE

4.已知：

AD垂直于BC交于D，AB-BD=AC-CD求证：三角形ABC为等腰三角形