高考数学考前20天冲刺 推理与证明_高考数学推理与证明

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2014高考数学考前20天冲刺

推理与证明

1．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，n（n＋1）113，6，10，…，第n个三角形数为＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，222

以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

11三角形数 N(n，3)＝n2，22

正方形数 N(n，4)＝n2，31五边形数 N(n，5)＝n2，22

六边形数 N(n，6)＝2n2－n，……

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．

解析：先根据给出的几个结论，推测出当k为偶数时，N(n，k)的表达式，然后再将n＝10，k＝24代入，计算N(10，24)的值．

k由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝－1n2－2

k2n，于是N(n，24)＝11n2－10n，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.2

答案：1 000

2．定义映射f：A→B，其中A＝{(m，n)|m，n∈R}，B＝R，已知对所有的有序正整数对(m，n)满足下述条件：

①f(m，1)＝1，②若n＞m，f(m，n)＝0；③f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)]，则f(2，2)＝________，f(n，2)＝________．

解析：在f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)]中，令m＝1，n＝2，得f(2，2)＝2[f(1，2)＋f(1，1)]＝2(0＋1)＝2.令m＝n－1，n＝2，得f(n，2)＝2[f(n－1，2)＋f(n－1，1)]．若n＝1，则f(n，2)＝0；若n＝2，则f(n，2)＝2；若n＞2，则f(n，2)＝2[f(n－1，2)＋f(n－1，1)]＝2[f(n－1，2)＋1]，即f(n，2)＋2＝2[f(n－1，2)＋2]，故得f(n，2)＋2＝2·2n－1，故f(n，2)＝2n－2，此式对n＝1，2也成立．

答案：2 2n－2

3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

1V13S1h1111解析：＝·.V21S2h2428S2h23答案：1∶8