推理与证明练习题_推理与证明经典练习题

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推理与证明练习题

1.用反证法证明命题：若整系数方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）.A、假设a,b,c都是偶数B、假设a,b,c都不是偶数

C、假设a,b,c中至多有一个偶数 D、假设a,b,c中至多有两个偶数

2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

3.已知a1a2a30，则使得(1a2ix)1(i1,2,3)都成立的x取值范围是（A.（0，1

2a）B（0，1a）C.（0，10，21a）D.（3a）

34．若f(x)4x

14x2，则f(1001)f(2

1001)f(1000

1001)=____________.6．将全体正整数排成一个三角形数阵： 135 68 9 1012 13 14 15……………… 按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为解答题

7.若abcd0且adbc，求证：dabc

8.在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC

9.设a,b为非零向量，且a,b不平行，求证ab，ab不平行）

10.已知a、b、c成等差数列且公差d0，求证：

11.已知f(x)lnx

12.已知函数y|x|

1，y

证明： f(1x)x

1a、1b、1c

不可能成等差数列

(x1)

y

(x

1tx)(x0)的最小值恰好是

方程x3ax2bxc0的三个根，其中0t1．（1）求证：a22b3；

（2）设(x1,M)，(x2,N)是函数f(x)x3ax2bxc的两个极值点． 解：（1）三个函数的最小值依次为1

2分 由f(1)0，得cab1

∴f(x)x3ax2bxcx3ax2bx(ab1)

(x1)[x(a1)x(ab1)]，故方程x(a1)x(ab1)

故(a

1)ab1．……………………………5分

(a1)，即22(ab1)(a1)

222

∴a2b3． ………………………………………………………………………7分（2）①依题意x1,x2是方程f'(x)3x2axb0的根，故有x1x2

2a3，x1x2

b3，且△(2a)12b0，得b3．

由|x1x2|





10分

；得，b2，a22b37．

由（1

(a1)0，故a1，∴

a

c(ab1)∴

f(x)x3

2x

3．………………………………………………14分

9.（1）已知等差数列an，bn

a1a2an

n

（2）已知等比数列cn，cn0（nN），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．

（nN），求证：bn仍为等差数列；

10．将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数yf(x)(xD)，对任意x,y,均满足f（xy2)

[f(x)f(y)]，当且仅当xy时等号成立。

xy2

D

（1）若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)f(5)与2f(4)大小.（2）设函数g(x)＝－x，求证：g(x)∈M.