初中数学证明三角形全等找角_角边角证明三角形全等
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初中数学证明三角形全等找角、边相等的方法
【摘要】“全等三角形的证明”是初中平面几何的重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中时有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。证明三角形全等找角、边相等是最关键的步骤。如何找对应角、对应边相等，做如下总结。
【关键词】全等三角形相等角相等边
我们在初中课本上学过的三角形全等的证明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，对于直角三角形还有“HL”。在做题的过程中我们时常发现，全等的条件往往隐藏在复杂的图形中，要找的条件就是相等的角、相等的边，初中阶段找相等的角、相等的边有以下几种情况。
一、相等的角
1、利用平行直线性质
两直线平行的性质定理：1.两直线平行，同位角相等
2.两直线平行，内错角相等
例、如图一所示，直线AD、BE相交于点C，AB∥DE，AB=DE
求证：△ABC≌△DBC
此题知道AB∥DE，根据平行线的性质可得
∠A=∠D ,∠B=∠E(两直线平行，内错角相等)
由ASA可证全等。图一
2、巧用公共角
要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角。
例、如图二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：△ABE≌△ADC
此题∠A是公共角，利用ASA可证全等。
3、利用等边对等角图二 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利
用等边对等角
例.、如图三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线
求证：△ABD≌△ACD
此题已知AB=AC，由等边对等角可得
∠B=∠C.4、利用对顶角相等图三 例、已知：如图四，四边形ABCD中, AC、BD交于O点,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．
求证：AB=CD图四 此题利用对顶角相当可得∠AOB=∠DOC.利用AAS
可得△AOB≌△COD,再根据全等三角形对应边相等得到
AB=CD5、利用等量代换关系找出角相等
（1）∠A+公共角=∠B+公共角
例1.已知：如图五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．
由图形可知：
∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC
因此可得∠DAE=∠BAC图五
利用SAS可证△EAD≌△CAB
例
2、已知:如图六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE
由图形可知：
∠DAB=∠BAC-∠DAC
∠EAC=∠DAE-∠DAC
因此可得∠DAB=∠EAC
利用SAS可证△BAD≌△CAE图六
(2)同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等
已知:如图,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直线BF上．
求证:∠A=∠D
由图形可知：图七 B
由等角的补角相等可得∠DEC=∠ACE
利用SAS可得△ABC≌△DEF
(3)同角（等角）的余角相等 D
在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如图八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作
B图八 ECF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于
D.求证:AE=CD;
由图形中可以看出：
∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°
由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、结合旋转和对称图形的性质。
例1．如图九，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD•交于点F．图九
求证：△ABF≌△EDF；
根据对称的性质我们可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以证明△ABF≌△EDF。
二、相等的边
1、利用等角对等边 ADAC
3CB
（注意：必须在同一个三角形中才能考虑）
例、如图十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
已知∠3=∠4，根据等角对等边可得OB=OC
利用AAS证明出△ABO≌△DCO。
2、利用公共边相等图十 A
（若果要证明的两个全等三角形有两个相同的对应点，那么可么马上得出它们具有公共边）
D例、如图十一，已知AB=AC，DB=DC，求证：∠BAD=∠CAD CB由图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，利用SSS可得 AB△ABD
≌△ACD
F3、利用等量代换
图十一 F
AB+公共边=DE+公共边
例，如图十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C
E图中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF
利用SSS可证△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用线段中点或三角形中线定理，或者等边三角形的性质
例、如图十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足
图十二
分别为E、F，M是BC的中点。求证：ME=MF
M是BC的中点，则可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF
C例题、如图十四，△ABE和△ACF是等边三角形，求证：CE=BF图十三 F △ABE和△ACF是等边三角形，则AE=AB，AC=AF
∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.则∠EAC=∠BAF
那么△AEC≌△ABF,则可得CE=BF
C
图十四
5、利用三角形角平分线定理
（三角形角平分线上的点到角两边的距离相等）
注意、必须是角平分线上的点
例题、如图十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分别为E、F。求证：AE=AF
AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,则根据角平分线
性质可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
则可得到AE=AF
图十五 例题、已知：如图十六，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD
于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．
A由题意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分线，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分线的性质
可得PM=PN
全等三角形的证明是初中数学几何证明中最重要的一部分，是证明线段相等和角相等最常用的方法。结合全等三角形的判定，全等的条件一般隐藏在已知当中，以上是证明全等隐藏条件的方法总结。
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