几何证明与计算习题(二)_几何计算题证明题
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几何证明与计算
（二）2007、1【目标要求】
掌握等腰三角形（包括等边三角形）的判定，能应用等腰三角形的性质（底角相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一）进行有关的计算和证明．
能应用直角三角形的重要性质（两个锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，30°角所对的直角边斜边的一半及其逆定理），以及勾股定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【解题指导】 例1如图1，已知在△ABC中，点M是边BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，且MD=ME． 求证：△ABC是等腰三角形．
拓展与引申（1）本题的条件不变，还可证明MD等于AB边的高的一半．（2）如果在△ABC中，AB=AC，点M是BC边的任意一点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，这两个条件不变，可证明MD+ME等于AB边上的高．
（3）如图2，在等边△ABC中，P为三角形中的任意一点，那么P到三边的距离之和为定值，这个定值等于等边△ABC高．
例2 如图3，在△ABC中，AB=AC，D、E是AB及AC延长线上的点，连结DE交BC于F，若F是DE的中点，求证：BD=CE．
拓展与引申当点D为AB的中点时，可证明点F是BC的四等分点．
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（图1）
C
（图2）
C
（图3）
例3如图4，在△ABC中，AF平分∠BAC，BF⊥AF于F，CE⊥AF于E，点D是BC的中点．求证DE=DF=
（AB-AC）．
2（图4）
B
例4 如图5，已知△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAC=90°.（1）（2）
当∠B=30°时，求证：BD=当BD=
CD； 2
CD时，∠B是否一定为30°？ 2
如果一定，请给出证明；如果不一定，请说明理由.（图5）
例5 如图6, 等边△ABC的边长为1, 点D、E分别在AB、BC边上，DE将△ABC分成面积相等的两部分，点F、G在AC边上，DF//BC，EG//AB, 设AF=x,CG=y.（1）求y与之间的函数解析式，并写出它的定义域；
x
（2）试问以AF、FG、GC的长为三边的长能否构成直角三
角形？请说明理由．
C
（图6）
拓展与引申 如图7，在Rt△ABC中，点D、E分别在AB、BC边上，DE将△ABC分成面积相等的两部分，点F、G在AC边上，DF//BC，EG//AB, 试问以AF、FG、GC的长为三边的长能否构成直角三角形？请说明理由．
（图7）
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【作业】A组
1．填空题（1）等腰三角形的顶角为α度，那么底角等于度．（2）在ΔABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，那么BC=cm．（3）在ΔABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，那么ΔABC的面积等于cm2．（4）直角三角形两个锐角的度数之比是4∶5，那么较大的一个锐角等于度．（5）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，CE是角平分线，∠A=25°.那么∠DCE=________°
（6）等边三角形的边长等于a，那么它的高等于． 2．选择题
（1）用以下长度的三条线段不能组成一个直角三角形的是（）．
（A）6cm，8cm，10cm（B）5cm，12cm，13cm（C）7cm，11cm，15cm（D）8cm，15cm，17cm
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CM分别是这个三角形的高和中线，那么下列结论错误的是（）．
（A）∠ACD=∠B（B）∠MCD =∠ACD（C）∠ACD=∠BCM（D）∠ACM=∠BCD（3）如果一个等腰三角形能够分割为两个小的等腰三角形，那么顶角不可能是（）．
（A）36º（B）72º
（C）90º（D）108º
D 3．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在 点E处，BE与AD相交于点F．求证：△BDF是等腰三角形．
C
4．已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，以点A
为圆心，AD的长为半径画弧，交BC于点E．求∠CDE的度数．
第4题5．在△ABC中，AB=AC，∠B和∠C的平分线相交于点D，求证：点D在边BC的垂直平分线上．
C
第5题 6．求证：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那
么这个三角形是直角三角形．
E
7．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC，CE垂直∠B的平分线BD，垂足为点E．求证：BD=2CE． B C
（第7题）
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B组
1．填空题（1）等腰三角形两条边的长度分别为3和6，那么周长等于．
（2）等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为45°，那么顶
角为度．
（3）如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是△ABC和△
ACB的平分线，点D、E在BC边上，且PD//AB，PE//AC，那么ΔPDE第1（3）题的周长是_______ cm.．
（4）已知直角三角形的周长为9cm，斜边上的中线长为A 2cm，那么两条直角边长的和为cm．
（5）在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线MN交边AC于点M，如果∠B=55°，那么∠CBM度．
E
（6）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么这个B D 等腰三角形的顶角等于_____度．
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，C
∠ADC=50°，点E是对角线BD的中点．求∠CAE的度数．
第2题
3．在直角坐标平面中，点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（2，5），点C的坐标为（-1，8），试判断△ABC是否为直角三角形，并证明你的结论．
A
4．如图，已知∠ABD=∠ADB，∠ABC=∠ADC，BE=DC．试比
较∠DCB+2∠ACB与180度的大小． C
5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，过点C任意
画一条与斜边相交的直线，分别过点A、B作这条直线的垂线，垂足分别为点D和点E．求证：DE=AD-BE．
C B
第5题
6．已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，过点C作直线l（直线l不经过点A和点B），过点A作AD⊥l，垂足为点D，过点B作BE⊥l，垂足为点E，试探索DE、AD、BE长度之间的关系．
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