4.1 比较法证明不等式_不等式证明一比较法

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§4 不等式的证明

4．1 比较法证明不等式

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：选D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小关系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：选D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝2

411P＝>0，a＋a＋123a＋1＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，则()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：选B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，则＝

11∴a＋1b＋1

an4．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．与n的取值有关

an＋1an解析：选B.an＋1－an＝－ bn＋1＋1bn＋1

a＝，bn＋b＋1bn＋1

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．设x2，y73，z＝6－2，则x，y，z的大小关系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：选D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不确定

解析：选B.∵{an}为等比数列设公比为q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}为等差数列，设公差为d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．设a，b，m均为正数，且，则a与b的大小关系是________． aa＋m

b＋mbma－b解析：>0，a＋maaa＋m

又a，b，m为正数．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，则________1.Bxx－3

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.xx－3

又因为B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．设n∈N，n>1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系是________．

logn＋1n＋2解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n lognn＋1

logn＋1n＋2＋logn＋1n2≤2

logn＋1n2＋2n2＝2

logn＋1n＋122

答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正数，x、y∈R，且a＋b＝1.求证：ax2＋by2≥(ax＋by)2.证明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，证明：aabbcc≥(abc.3解析：因为f(x)＝

证明：＋＋＝abc3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在题中的地位相当(全对称性)，a－ba不妨设a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c从而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得证．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.abc3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋证明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

当a>b时，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

当a

∴(am－bm)(an－bn)>0；

当a＝b时，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.综上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋