高中几何证明题_高中几何证明题及答案

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高中几何证明题

1、(本题14分)如图5所示，AF、DE分别世O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是O的直径，ABAC6,OE//AD.D(I)求二面角BADF的大小；

(II)求直线BD与EF所成的角.AF图

5解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD

—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；

(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，2，0），B（32，0，0）,D（0，32，8），E（0，0，8），F（0，32，0）所以，(2,32,8),(0,2,8)

cosBD,EFBD与01864EF 10设异面直线所成角为，则

cos|cosBD,EF| 10

10直线BD与EF所成的角为

2．（本题满分13分）

如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45．

（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ）求二面角ABDC的大小；

（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．

A1B

1C

1解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．

A1

ABC是正三角形，AEBC． 又底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC

．1AE侧面BB1C1C．

B

C1

连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为ADE45．……………2分 在RtAED中，tan45



AE

ED，解得x…………3分

此正三棱柱的侧棱长为……………………4分

注：也可用向量法求侧棱长．

（Ⅱ）解法1：过E作EFBD于F，连AF，AE侧面BB1C1C,AFBD．

AFE为二面角ABDC的平面角．……………………………6分 在RtBEF中，EFBEsinEBF，又

BE1,sinEBF

又AE

CDEF．

BD在RtAEF中，tanAFE

AE

3．…………………………8分 EF

故二面角ABDC的大小为arctan3．…………………………9分

解法2：（向量法，见后）

BD平面AEF,平面AEF平面ABD，（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，且交线为AF，过E作EGAF于G，则EG平面ABD．…………10分

在RtAEF中，EG

AEEF

AF



．…………12分 E为BC中点，点C到平面ABD的距离为2EGACB解法2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由C

．…………13分 10

ADB,D，易得平面ABD

平面CHD，且交线为DH．过点C作CIDH于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离．

解法3：（思路）等体积变换:由VCABDVABCD可求． 解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系

则AB(0,1,0),C(0,1,0),D(

设n1(x,y,z)为平面ABD的法向量．

yn10,由 得y0n02

取n1().…………6分



又平面BCD的一个法向量n2(0,0,1).…………7分

n1n2(6,3,1)(0,0,1)．…………8分 cosn1,n2

n1n21(6)2()21210

．…………9分 

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，n1(),CA(0,1…………10分

结合图形可知，二面角ABDC的大小为点C到平面ABD的距离d来源：（深圳家教）

(0,1,)(6,,1)(6)2(3)212

＝

2．13分 10