用向量可以证明不等式_向量三角不等式证明

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运用向量可以证明不等式

向量一章中有两处涉及到不等式，其一，aa+bab或-bab；其二，abab。前者的几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，后者是数量积的性质，这两个结论用于证明不等式，可以使证明思路清晰明快，过程简单明了之功效。



一、利用a-bab证明不等式

例

1、函数f(x)，ab，求证：

f(a)f(b)ab

解析：f(a)f(b)ab

即ab



构造两个向量 a(1,a),b(1,b)，可以理解为两个向量的模的差ab，那么ab表示向量c(0,ab)的模，其中ab(1,a)(1,b)(0,ab)。

因此，原不等式等价于证明abab，其中ab，向量 a和b不可能同向，不取等号。



二 利用abab证明不等式

2222例2、已知实数mnxy满足mna,xyb

（ab），求mxny得最大值

解析：构造向量a(m,n),b(x,y)，则a abmxny，因为abab，所以mxny



my

nx取最大值。例

3、已知ab

1,解析： 构造向

量ab1m，n

122 n(1,1),m。

。mn因为mn

mn

所以，nn2。