用正弦定理证明三重向量积[材料]_用向量法证明正弦定理

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用正弦定理证明三重向量积

作者：光信1002班 李立

内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——(ab)c(cb)a(ca)b。

首先，根据叉乘的定义，a、b、ab可以构成一个右手系，而且对公式的观察与分析我们发现，在公式中，a与b是等价的，所以我们不妨把a、b、ab放在一个空间直角坐标系中，让a与b处于oxy面上，ab与z轴同向。如草图所示：

其中，向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解，即：

cczcxy

将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得：

（ab）cxy(cxyb)a(cxya)b这两个式子等价

现在我们考虑(ab)c刚好被a与b反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。

由图易得，(ab)c与a、b共面，a与b不共线，不妨设（ab)cxayb，a,cxy

（,),b,cxy

(0,)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

ab）cSin[-a,b]

Sin[

xa



yb

Sin[a,cxy

k]



b,cxy

又因为ab）cabcSina,b

所以，解得k=abc，于是解得：

x= bcxyCosb,cxyyacxyCosa,cxy

bcxy acxy

由图示和假定的条件，(ab)c在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，y都取负值，所以，（ab）cxy(cxyb)a(cxya)b

其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以：

(ab)c(cb)a(ca)b，命题得证。

小结论：当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。