代数中的向量证明方法_高等代数向量证明题

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代数中的向量证明方法

利用向量知识解题具有很多优越性:思路直观,运算简单,能把“数”与“形”有机地结合起来.学好平面向量,不仅是掌握生活、学习的一种工具,还能提高自己的数形结合能力和创新能力,而且能陶冶情操,享受数学思想方法带来的向量学的美.利用向量解决中学数学题目已经相当普遍,下面举例运用向量方法证明代数中的一些问题.y

一 利用平面向量巧证三角证明题

例1 利用向量证明

cos10cos130cos2500，





130°

x

sin10sin130sin2500.





A

图

1证明:设正三角形ABC的边长为1.如图1,置于坐标系中则

ABcos10,sin10,BCcos130,sin130,CAcos250,sin250,ABBCCAcos10cos130cos250,sin10sin130sin250,ABBCCA0,0,cos10cos130cos250,sin10sin130sin2500,0.cos10cos130cos2500,sin10sin130sin2500.评析：依本题的证法，我们使x轴的正方向绕A点逆时针旋转到向量AB的最小角为，（而不是本题的特殊角10）可以得到以正三角形为依托的较为一般的两个三角等式：

coscos(120)cos(240)0,



y

sinsin(120)sin(240)0.



G

A

例2用向量的方法还可以解决如下的问题，求值：cos

27cos

47cos

67cos27

87cos

107

cos

127

C

解：因正七边形的外角为系中，则

ABcos0,sin0{1,0},，设正七边形的边长为1，如图2所示置于坐标

22

BCcos,sin,7744

CDcos,sin

7766

DEcos,sin

77



, , 

88

EFcos,sin,771010

FGcos,sin

771212

GAcos,sin

77

图

2

, .

ABBCCDDEEFFGGA0.1coscos

2727cos4747cos6767cos8787cos

107

cos

127

0,coscoscoscos

107

cos

127

1.评析：此题是应用上面的证明方法来分析求解，在中学数学中可以遇到不少类似的题目，都可以类似来求解.例3 用向量证明三角公式:

cos()coscossinsin.证明:如图3,作一个单位圆,取平面上的两个单位向量a、b使它们与x轴上的单位向量

i形成α、角,即 OA

a,OBb.abcos()cos(),又acos,sin,bcos,sin, abcoscossinsin,cos()coscossinsin.图

评析:该公式在教材中采用构造法证明,先构造一个单位圆,再在单位圆上构造四点,形成两个全等三角形,利用两点间的距离公式证得.这种方法在构造图形上要求太高,很难与我们学过的知识相联系起来.当我们学过平面向量后,可以简洁地将此公式证明.同法,我们可以证明:

例4coscos

cos()cos().证明：设三个单位向量：

acos,sin,bcos,sin,ccos,sin, abcoscossinsincos(), accoscossinsincos().abaccos()cos().又abaca(bc)，bc2cos,0, a（bc）2coscos.综上所述,可得: coscos

cos()cos().二 构造向量证明不等式

利用以下定理，可以用向量证明代数不等式.定理: a,b为两个非零向量,则

:例5 设a,b,cR+，试证：证明:构造向量:

ab

bc

ca

(ab)1a1b1c



.a

1bc11a，,b，.bcabca

(ab),得

（ab



bc



ca)1a



1b



1c

1a



1b



1c,即

ab



bc



ca







当且仅当abc时,不等号成立.用向量证明问题还应该注意一些符号问题，如：

例6

2)

证明：由于a和b方向的不确定性，可按分类讨论的思想进行证明.（1）若a与b共线且方向相同时，则



2

 



所以2).（2）若a与b共线且方向相反，则



2

 



所以2).（3）若a与b不共线时，如图4，设OAa,OBb,作平行四边形OACB，可得

OCab,BAab;

在三角形OAB

中，BOA;在三角形OAC

中，OAC.因为BOAOAC

所以两式相加可得

B

C

2).O

A

图4

评析：由于平面向量具有“数”和“形”的双重功能，涉及“数”与“形”的许多问题需要分类讨论，所以用分类讨论思想解决平面向量问题是顺理成章的事.通过分类讨论把向量中的问题分门别类转为局部问题，使繁复的向量问题简单化，从而达到解决问题的目的.同样地，我们可以用构造向量的方法来证明三角不等式： 例7 设，，均为锐角，满足sin2sin2sin21则

sinsin



sinsin



sinsin

1。

证明：构造两个向量：

2sin

a

,sinsin

sin



sinsin,

, sinsinsin



b

sin,sinsin,sin.

sinsinsin

(ab).即

(

sin



sinsin



sinsinsin)(sinsinsinsinsinsin)

(sinsin

sin)

所以

sinsin



sinsin



sinsin



(sinsin

sin)

sinsinsinsinsinsin



(sinsinsin)sinsinsin

2222

sinsinsin1

评析：证明此类不等式证明，若能观察到向量的“影子”，通过构造向量，利用向量的数量积运算公式，能使繁复的问题简单化.例8 若x，y，zR，且xyz1.n为正整数.求证:

x

n

y(1y)



y

n

z(1z)



z

n

x(1x)



n2

n

9

.证明：由已知条件，知1xn0,1yn0,1zn0.构造向量：

a



x

n,y

n,y(1y)

z(1z)



,bn

x(1x)z

y(1y),n

z(1z),n

x(1x)

n



(xy

(ab).得



y

n

z)

[

x

n

y(1y)z(1z)



z

n

x(1x)

][y(1y)z(1z)x(1x)]

n

n

n

所以

x

n

y(1y)



y

n

z(1z)



z

n

x(1x)



(xyz)

(xyz)(x

n1

2222

y

n1

z

n1)

[3（

xyz)]

(xyz)3（xyz)

n1

122

[3()]n

n2.1n139

13()

若取n1,得

x

y(1y)



y

z(1z)



z

x(1x)



.（《上海中学数学》1993（2）数学问题1）若取n2，得

x

y(1y)



y

z(1z)



z

x(1x)



.（《数学通报》1994（11）数学问题921）

评析：此题也是巧妙构造向量的例子，题中n的取值不同可以得到不同的不等式方程，对应解决不同的数学问题.小结：爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”.善于观察的人可以将常人熟视无睹的问题提出来，并加以研究解决.在引入向量的知识后，因为“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”，它可以作为联系代数和几何的纽带，是中学数学知识的一个交汇点.本文主要从代数问题的角度利用向量方法证明，打破常规，构造向量，利用平面向量的数量积获得妙解.思路直观，运算简单，能把“数”与“形”有机的结合起来.